Метод прямоугольников

Допустим, нам нужно найти приближенно площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой на промежутке[a;b].

Идея метода: криволинейная фигура разбивается на много узких полосок, каждая полоска заменяется прямоугольником. Площадь фигуры приближенно равна сумме площадей этих прямоугольников.

Для решения задачи разобьем фигуру на n полосок. Каждую из них заменим прямоугольником шириной, равной 1/n отрезка [a,b], и высотой, равной значению функции в средней точке разбиения¹. Площадь каждого из них равна произведению ширины на высоту.

Понятно, что чем больше полосок, тем точнее получается результат².

Для вычисления суммы можно воспользоваться любой инструкцией цикла из описанных в предыдущем параграфе. Воспользуемся циклом в предусловием.

Фрагмент программы, предназначенный для вычисления площади, может выглядеть примерно так:

w:=(b-a)/n; {вычисляем ширину полоски}

s:=0; {переменная для накопления площади}

x:=a; {начальное значение х}

while x < b do {продолжаем вычисление, пока не дошли до конца отрезка }

begin

s:=s+w*f(x); {добавляем к s площадь очередной полоски}

x:=x+w; {переходим к следующей полоске}

end;

Для того чтобы программа была работоспособной и выдавала результат, следует добавить описание всех используемых переменных и предусмотреть выдачу результата (переменной s) с помощью какого-либо подходящего компонента (Edit или Label) с соответствующим преобразованием данных.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло – общее название вычислительных методов, в которых для вычисления какой-либо величины используется датчик случайных чисел (по названию города Монте-Карло, где расположено множество игорных заведений).

Идея метода: смоделировать случайное «бросание» большого количества точек в прямоугольник, содержащий криволинейную фигуру. При этом отношение числа точек, попавших внутрь фигуры, к общему числу точек будет приближенно равно отношению площади фигуры к площади прямоугольника. Понятно, что чем больше точек, тем точнее результат, однако оценить точность при использовании метода Монте-Карло не удается.

Для программирования этого метода в Паскале (как и в большинстве языков программирования) имеется функция random, моделирующая датчик случайных чисел. У этой функции есть два варианта написания (еще одно проявление полиморфизма).

k:=random(n); – дает целое случайное число в диапазоне , гдеn тоже целое число;

a:=random; – дает вещественное число в диапазоне .

Для решения нашей задачи более удобен второй вариант, т. к. размеры фигуры могут быть маленькие, и целочисленных точек там может вообще не оказаться.

Из рассмотренных типов цикла можно выбрать любой. Воспользуемся циклом с параметром.

Возьмем, к примеру, n=10000 точек. Прямоугольник, содержащий фигуру, имеет размеры , где – наибольшее значение функции на отрезке.

Фрагмент программы, предназначенный для вычисления площади, может выглядеть примерно так:

k:=0; {количество точек, попавших в фигуру}

for i:=1 to n do {моделируем n бросаний }

begin

x:=random*(b-a)+a;{случайная координата x}

y:=random*h; {случайная координата y}

if y<=f(x) {если точка попала в фигуру}

then k:=k+1;

end;

s:=(b-a)*h*k/n;{площадь прямоугольника (b-a)*h умножаем на число попавших в фигуру точек и делим на общее число точек }