64. Оператор Штурма-Лиувилля. Краевая задача. Функция Грина.

Оператор Штурма –Лиувилля. Собственные значения и функции.

Опр.1. Рассмотрим , где0, иC[a,b], y(x) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией и C²[a,b]. Тогда l является неким отображением C²[a,b]→ C[a,b] и наз. его линейным диф. выражением.

Опр.2. Рассмотрим y_a, y_b, y_a’, y_b’, которые являются значениями ф-ии y(x), y’(x) в точках a,b. Рассмот­рим линейную форму . Для линейного диф. выр-нияly введем две линей­ных формы u₁(y) и u₂(y). Тогда u₁(y) =0 и u₂(y) орму ми ф-ии цией Грина. Собственные значения и собственные функции.

0=0 наз. краевыми условиями для ly.

Опр.3. Введем след. мн-во: D={y(x): yC²[a,b] и удовл-ет краевым условиям u₁(y) =0 и u₂(y) орму ми ф-ии цией Грина. Собственные значения и собственные функции. 0=0}. Тогда L наз. оператором Штурма -Лиувилля или краевой (регулярной) задачей Штурма -Лиувилля.

(1)

Опр.4.  наз. собственным значением оператора Ш-Л, если  ненулевая ф-я y(x)D: Ly=y, а соответ­ствующая ф-я y(x) наз. собственной ф-ей.

Теорема. Оператор L является линейным, т.е.

Утв.1. Оператор L имеет обратный L^-1  ур-ние Ly=0 имеет только ненулевое решение.

Утв.2. Пусть y₁ и y₂ являются фундаментальной системой решений для диф. выражения ly=0. Тогда является общим решением.

Удовлетворим функцию y(x) краевым условиям u₁(y) =0 и u₂(y) орму ми ф-ии цией Грина. Собственные значения и собственные функции.

0=0.

т.к. u₁ является линейной формой.

, т.е.

Зам. Введем обозначение ()=(если рассматривается уравнениеLy=ly). Тогда ()=0 дает собственное значение оператора Ш-Л.

Опр. Уравнение Ly=ly называется спектральной краевой задачей оператора Ш-Л.

Опр. Множество собственных значений регулярной краевой задачи Ш-Л называется спектром.

Функция Грина.

Опр.5. Функция G(x,), где a≤x, ≤x, называется функцией Грина, если эта ф-я удовлетворяет след. условиям: 1) G(x,) является непрерывной функцией по обеим переменным x и ; 2) ,являются непрерывными по переменнойx на интервалах [a,) U (,b], причем, при x=, терпит скачок, т.е. выполняется равенство вида:; 3) ФункцияG(x,) является решением оператора Ш-Л, при любом фиксированном .

i =1,2; =const.

(2) (2’)

Теорема 1. Если  обратный оператор L^-1 , тогда  единственная функция Грина для оператора L.

Пусть y₁(x), y₂(x) являются фундаментальной системой решений для уравнения ly=0.

Тогда по опр.5. п.3. x[a,b] Обозн. 1стр- ₁(x), 2стр-₂(x).

Докажем единственность ф-и Грина.

По п.1 опр.5 ₁()=₂()

По п.2 опр.5 (3)

Введем обозначения ,. Тогда система (3) примет вид:

(4)

Система (4) имеет единственное решение, т.к. определитель Вронского  0, т.е. с₁, с₂- единственные.

u₁, u₂ являются краевыми условиями и линейны  их можно представить в виде: ,i=1,2

где u_ib, u_ib – линейные формы относительно y и y’ соответственно в точках a и b.

Так как G(x,) является решением, тогда ,i=1,2

Распишем последнее равенство:

Так как u_ib, u_ib – линейные формы, тогда

i=1,2

Тогда получим систему вида:

(5) , т.к. L^-1 .

Т.о., a₁ и a₂ определяется однозначно. Так как с₁ и с₂ также определяются однозначно, то b₁ и b₂ тоже определяются однозначно. 

Зам. Из теоремы 1 видно, что если удается решить уравнение дифференциальное, то ф-я Грина определяется однозначно, исходя из решения. Обратно, если известна ф-я Грина для оператора Ш-Л, то по ней можно опр-ть общее решение.

Теорема 2. Если для оператора Ш-Л  обратный L^-1 , ф-я f(x) определена и непрерывна на [a,b], то ур-ние Ly=f(x) (*) имеет решение (6)

 y(x) является решением для уравнения (*). По опр.5 п.3  y удовлетворяет краевым условиям оператора L. Докажем, что y(x) является решением ly=f(x).

=

=lG=0 

Опр.6. Оператор вида наз.интегральным, где K(x,) наз. ядром интегрального оператора, т.е. обратный оператор к оператору Ш-Л является интегральным, ядро которого есть ф-я Грина.

61 Однородная система ЛДУ с постоянными коэффициентами

14