61. Введем понятие определителя Вронского:

Векторы X₁, X₂, …, X_n, где X_{i =} называется линейно зависимыми на отрезке a t b, если существует постоянные такие, что

(3.21)

при a t b, причем по крайней мере одно 0. Если же тождество (3.21) справедливо лишь при, то векторыX₁, X₂, …, X_n называются линейно независимыми.

Заметим, что одно векторное тождество (3.21) эквивалентно n тождествам:

(3.21₁)

Если векторы X_i (i=1,2,…,n) линейно зависимы и, значит, существует нетривиальная система (т.е. не всеравны нулю), удовлетворяющая системе n линейных однородных по отношению куравнений (3.21), то определитель системы (3.21₁)

должен быть равен нулю для всех значений t отрезка a t b. Этот определитель системы называют определителем Вронского для системы векторов X₁, X₂, …, X_n.

Теорема 3.4 Если определитель Вронского W решений X₁, X₂, …, X_n линейной однородной системы уравнений (3.20) с непрерывными на отрезке a t b коэффициентами a_ij(t) равен нулю хотя бы в одной точке t=t₀ отрезка a t b, то решения X₁, X₂, …, X_n линейно зависимы на том же отрезке, и следовательно, на рассматриваемом отрезке W 0.

Док-во: Т.к. коэффициенты a_ij(t) (i,j = 1,2,…,n) непрерывны, то система (3.20) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное значение X(t₀)=0 (или, подробнее, x₁(t₀)=0, x₂(t₀)=0, …, x_n(t₀)=0 ) определяет единственное решение рассматриваемой системы, и этим решением, очевидно, является тривиальное решение системы (3.20-L[X]=0) X(t) 0 (или, подробнее,x₁(t₀) 0,x₂(t₀) 0, …,x_n(t₀) 0). ОпределительW(t₀) = 0. Следовательно, существует нетривиальная система с₁, с₂, … , с_n удовлетворяющая уравнению

c₁X₁(t₀)+ c₂X₂(t₀)+….+ c_nX_n(t₀) 0,

т.к. это одно векторное уравнение эквивалентно системе n линейных однородных относительно c_i уравнений с равным нулю определителем:

Соответствующее этой нетривиальной системе с₁, с₂, …, с_n решение уравнения (3.20-L[X]=0) X(t)=удовлетворяет нулевым начальным условиямX(t₀)=0 и, следовательно, совпадает с тривиальным решением системы (3.20): 0, т.е. Х_i линейно зависимы.

Теорема 3.5 Линейная комбинация n линейно независимых решений Х₁, Х₂, …, Х_n линейной однородной системы (3.20) с непрерывными на отрезке a t b коэффициентами a_ij(t) является общим решением системы (3.20) на том же отрезке.

Док-во: Т.к. коэффициенты a_ij(t) непрерывны на отрезке a t b, то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, и следовательно, для док-ва теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных с_i в решении можно удовлетворить произвольно выбранным начальным условиямX(t₀)=X₀, Х₀ = , гдеt₀ – одно изи значений t на отрезке a t b, т.е. можно удовлетворить одному векторному уравнению

;

или эквивалентной системе n скалярных уравнений:

Эта система разрешима относительно c_i при любых x_i0, т.к. определитель системы является определителем Вронского для линейно независимой системы решений X₁, X₂, …, X_n и, следовательно, не обращается в нуль ни в одной точке отрезка a t b.

Теорема 3.6 Если является решением линейной неоднородной системы

L[X] = F, (3.19)

а Х₁ – решением соответствующей однородной системы L[X] = 0, то сумма также будет решением неоднородной системыL[X] = F.

Док-во: Дано, что L[]F и L[X₁] 0. Надо доказать, чтоL[]F.

Пользуясь свойством 2) оператора L, получим

L[]L[] +L[X₁] F.

Справедлива обратная теорема (Теорема 3.7): Общее решение на отрезке a t b неоднородной системы (3.19) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами a_ij(t) и правыми частями f_i(t) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и частного решениярассматриваемой неоднородной системы.