Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами.

(1)

Где (х) – непрерывные функции на [a,b], .

Если f(x) в уравнении (1) ≡ 0, то уравнение называют линейным однородным диф.уравнением.

Наряду с (1) рассмотрим начальные условия:

(2)

Тогда уравнение (1) и (2) удовлетворяет всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и решение является единственным.

Введем линейный оператор :(3)

(1′)

(4)- лин.однород.уравнение

Определим свойства лин.оператора:

1) , где с- постоянная

2)

Следствие

Теорема 1. Если у является решением лин.однород.уравнения (4), тогда су также является его решением.

Теорема 2. Если у1,у2 являются решениями (4), тогда сумма этих функций также является решением (4).

Замечание. Свойство 1 и 2 обозначают для L линейность.

Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим уравнение вида.

(1)

Где (х) – непрерывные функции на [a,b], .

Рассмотрим однородное уравнение для уравнения (1)

(2)

И предположим, что нам удалось найти общее решение уравнения (2)

(3)

Для решения неоднородного уравнения (1) применим метод вариаций произвольных постоянных. Положим некие неизвестные функции(4о)

()

В () предположим, что сумма(). Тогда уравнение () примет вид()

В положим, что.

Тогда

(4n)

Т.к. у1,…,уn являются решениями однородного уравнения, тогда последнее равенство будет иметь вид

(5n)

Объединяя все формулы (5i) получим систему уравнений

(7)

Тогда определитель системы (7) является определитель Вронского, который ≠0 ни в одной точке заданного интервала. Т.к. система решений у1….уn является линейно независимыми. Т.о. решение (7) определяется однозначно.

56. Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. Общие свойства..

Теорема существования и единственности для системы уравнений.

Докажем теорему существования и единственности решения у₁(х), у₂(х),…,у_n(x) для системы уравнений

у_i(x)=y₀ (i=1,2,….,n) (1.32)

или

(1.33)

в предположении, что в области D, определяемой неравенствами

x₀ - a x x₀ + a, y_i0 - b_i y_i y_i0 + b_i (i=1,2,….,n)

правые части уравнений (1.32) удовлетворяют условиям:

1. все функции непрерывны, а следовательно, и ограничены, |f_i| M_i.

2. Все функции f_i (i=1,2,….,n) удовлетворяют условию Липшица:

| f_i (x, y₁, y₂,…,y_n) – f_i (x ,z₁, z₂, …, z_n) | N

Задача Коши в формулировке доказательства теоремы.

Точкой пространства С будет теперь система n непрерывных функций ( y₁, y₂,…,y_n), т.е. n – мерная вектор-функция Y(х) с координатами y₁(х), y₂(х), …, y_n(х), определенная на отрезке x₀-h₀ x x₀-h₀, где h₀ min(a, ) и будет точнее выбрано ниже. Расстояние в пространстве С определяется равенством

, где z₁,z₂,…,z_n - координаты вектор-функции Z (x).

Нетрудно проверить, что при таком определении расстояния множество С n – мерных вектор-функций Y(x) превращается в полное метрическое пространство. Оператор А определяется равенством

,

т.е. при действии оператора А на точку (y₁, y₂,…,y_n) получаем точку того же пространства С с координатами, равными правым частям системы (1.33).

Точка A|Y| принадлежит пространству С, т.к. все ее координаты являются непрерывными функциями, не выходящими из области D, если координаты вектор-функции Y не выходили из области D.

Действительно,

и следовательно, |y_i-y_i0| b_i.

Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых отображений (p(A|y|,A|z|)) p(y,z), :

Следовательно, если выбрать h₀ , где 0<<1, илиNnh₀ <1, то условие 2) принципа сжимающих отображений будет удовлетворено и будет существовать единственная подвижная точкапо определению оператора А эквивалентно тождествам

где (i=1, 2, …, n) – координаты вектор - функции , то естьявляется единственным решением системы (1.33).

Опр. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Система n линейных уравнений 1-го порядка, записанная в нормальной форме имеет вид:

(3.17)

или в векторной форме (3.18)

X – n-мерный вектор с координатами x₁(t),….,x_n(t),

F – есть n-мерный вектор с координатами f₁(t),….,f_n(t), которые удобно в дальнейшем рассматривать, как одностолбцовые матрицы:

X=; F=; A =

эквивалентно (3.17)

Если все функции a_ij(t), f_i(t), в (3.17) непрерывны на отрезке a t b, то в достаточно малой каждой точке (t, x₁₀, …, x_n0), где a t b, выполнены условия теоремы существования и единственности {

1) непрерывность всех функции f_i в определенных начальных значениях,

2) выполнение условия Липшица для всех функции f_i по всем аргументам, начиная со 2-го в той же окрестности} и следовательно, через каждую точку проходит единственная интегрируемая кривая системы (3.17).

Действительно, в любом случае правые части системы (3.17) непрерывны, и их части произведение по любому X_j ограничены, т.к. эти частные производные = непрерывным на отрезкам a t b коэффициентам a_ij(t).

Определим линейный оператор L равенством:

L[X] = AX;

Точное уравнение (3.18) еще короче можно записать в виде:

L[X] = F (3.19)

Если f_i(t) 0 (i=1,…,n), (F=0), то система называется однородной (L[X]=0)

Оператор L обладает следующими свойствами:

1. L[cX] = c L[X], с – произвольная const,

2. L[X₁+X₂] = L[X₁]+L[X₂].

Общие свойства:

Теорема 3.1. Если { является решением линейной однородной системы L[X]=0, то сХ, где с - произвольная постоянная, является решением той же системы.

Док-во: Дано L[Х]0, надо доказать, что L [сХ]0. Пользуясь свойством 1) оператора L, получим

L [сХ] сL[X] 0.

Теорема 3.2 Сумма X₁+X₂ двух решений X₁ и X₂ однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Док-во: Дано L[Х₁]0 и L[Х₂]0. Требуется доказать, что L[X₁+X₂]0. Пользуясь свойством 2) оператора L, получим

L[X₁+X₂] L[Х₁]+L[Х₂]0

Следствие (из теорем 3.1 и 3.2) Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений X₁, X₂,…, X_m линейной однородной системы L[Х]0 является решением той же системы.

Теорема 3.3. Если линейная однородная система (20) с действительными коэффициентами a_ij(t) имеет комплексное решение X=U+iV, то действительная и мнимая части

U= и V=

В отдельности являются решениями той же системы.

Док-во: Дано L[U+iV] 0. Надо доказать, что L[U]0 и L[V]0. Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора L, получаем

L[U+iV] L[U] + i*L[V]0.

Следовательно, L[U]0 и L[V]0.

Справедлива и обратная теорема (Теорема 3.9):

Если система линейных уравнений

L[X]=U+iV,

где U= и V=

с действительными функциями a_ij(t), U_i(t), V_i(t) ( i, j = 1,2,…,n) имеет решение X=, U= и V= ,

то действительная часть решения и его мнимая частьсоответственно являются решениями уравненийL[X] = U и L[X] = V.