54. Линейные д.У первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной.

Уравнение в котом существует линейная зависимость между независимой функцией и первой производной от называетсяЛДУ первого порядка, имеет вид: , (1) где,- непрерывные функции на некотором промежутке.

Если уравнение (1) функция , то это уравнение называетсянеоднородным ЛДУпервого порядка.

1. Рассмотрим решение однородного ЛДУ. (2). Это уравнение можно решать как уравнение с разделяющими переменными.

;

; ;

- решение однородного ЛДУ

2. Рассмотрим решение неоднородного ЛДУ.

Существует несколько способов этого уравнения.

1 способ, метод вариации произвольной постоянной.

При этом методе сначала решаются соответствующие однородной ЛДУ имеет вид: , тогда по методу вариации функциии решение неоднородного уравнения ищется в виде:(3), тогда задача сводится к нахожднию неизвестной функции. Т.к. (3) является решением неоднородного ЛДУ (1), то подставляя это решение в уравнение должны получить верные равенства:

.

Подставим ив исходное уравнение (1), получим:

; ;.

Найдя фукцию подставим эту функцию в решение (3).

2 способ, метод Бернулли.

Этот метод применяется только для ЛДУ первого порядка.

Рассмотрим ЛДУ первого порядка: .

По методу Бернулли неизвестную функцию ищем в виде произведения двух функций.

, где - неизвестная функция,- некоторая неизвестная функция.

Тогда .

Подставим ив исходное уравнение, получим:

;

.

В последнем равенстве найдем фуекцию , исходя из условия(*)

Из уравнения (*) находим какое-нибудь частное решение. Тогда неизвестную функцию найдем из уравнения. (2*)

Т.о., по методу Бернулли решение рассматривается в виде произведения двух функций икоторые являются решениями двух уравнений с разделяющимис переменными (*) и(2*).

51.Векторный пространства. Размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств. Матрица перехода от одного базиса к другому. Подпространства. Размерность подпространств.

Векторным подпространством S над полем K называется аддитивно записанная Абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля K, удовлетворяющее требованиям:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

–элементы поля K, x,y – элементы векторного пространства.

Элементами векторного пространства называются векторами.

Примеры векторного пространства над полем R вещественных чисел могут служить множество векторов на плоскости или в пространстве. Другие (уже над любым полем K) примеры – матрицы фиксированного строения, в частности, строки и столбцы с элементами из поля К.

Линейной комбинацией векторов u1,u2,…,um из S называется вектор c₁u₁+c₂u₂+…+c_mu_m при C_iϵK.

1. Совокупности векторов u₁,…,u_m называются линейно независимой, если равенство c₁u₁+…+c_mu_m=0 возможно только при с₁=…=c_m=0. Если же существуют не равные одновременно нулю с₁,…,c_m такие, что c₁u₁+…+c_mu_n=0, то совокупности векторов u₁,…,u_n называется линейно зависимой. Совокупности векторов u₁,…,u_m линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

2. Если совокупности векторов u₁,…,u_m линейно не зависима, а совокупности u₁,…,u_m,u_m+1 линейно зависима, то вектор u_m+1 есть линейная комбинация векторов u₁,…,u_m.

3. Если векторы v₁,…,v_k являются линейными комбинациями векторов u₁,…,u_m и k>m, то совокупность v₁,…,v_k линейно зависима. Совокупности векторов называются порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерной, в противном случае – бесконечномерным­.

4. Любая минимальная порождающая совокупности векторов линейно независима.

5. Любая максимальная линейно независимая совокупность векторов является порождающей.

6. Любая линейно не зависимая порождающая совокупность является минимальной средней порождающей и максимальной средней независимой.

Совокупности векторов, удовлетворяющие этим условиям, называются базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства.

Размерность пространства S обозначается dim S. Т.о. размерность ровна максимальному числу линейно независимых векторов и минимальному числу порождающих векторов.

Два векторных пространства над одним и тем же полем называются изоморфными, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные комбинации.

Рассмотрим матрицу перехода от одного базиса к другому.

Пусть в пространстве S наряду с исходным базисом e₁,…,e_n рассматривается другой базис e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n. Векторы, составляющие этот базис, выражаются через векторы исходного базиса линейно, с коэффициентами из основного поля.

e^’₁=c₁₁e₁+ c₂₁e₂+…+c_n1e_n

e^’₂=c₁₂e₁+ c₂₂e₂+…+c_n2e_{n (1)}

………………………………………………………

e^’_n=c_1ne₁+ c_2ne₂+…+c_nne_n

матрица называется матрицей замены базисаe₁,…,e_n на e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n в свою очередь векторы исходного базиса выражаются через векторы нового:

e₁=b₁₁e^’₁+b₂₁e^’₂+…+b_n1e^’_n

e₂=b₁₂e^’₁+b₂₂e^’₂+…+b_n2e^’_n

……………………………………………………

e_n=b_1ne^’₁+b_2ne^’₂+…+b_nne^’_n

Подставив в эти формулы вместо e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n их выражение через e₁,…,e_n, получим:

e₁=d₁₁e₁+d₂₁e₂+…+d_n1e_n

e₂=d₁₂e₁+d₂₂e₂+…+d_n2e_n

……………………………………………………

e_n=d_1ne₁+d_2ne₂+…+d_nne_n

где матрица

В силу линейной независимости системы базисных векторов заключаем, что d₁₁=d₂₂=…=d_nn=1 и d_ij=0 при i<>j при i<>j 

Следовательно  — единичная матрица, а матрицы взаимно обратные, и потому каждая из них невырожденная.

Выясним теперь, как изменяются координаты векторов при замене базиса. С этой целью обратимся к координатной записи векторов. Формулы (1) в координатах означают, что в базисе e₁,…,e_n вектор e^’₁ имеет координатный столбец (с₁₁,…, c_n1)^Т, вектор e^’₂—столбец (с₁₂,…, c_n2)^Т,…, вектор e^’_n — столбец (с_1n,…, c_nn)^Т. Пусть вектор х имеет координатный столбец (х₁,…, х_n)^Т в базисе e₁,…,e_n  и столбец (х^’₁,…, х^’_n)^Т  — в базисе e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n. Тогда x=x^’₁e^’₁+…+x^’_ne^’_n. Сравнивая координаты по отношению к базису e₁,…,e_n в левой и правой части последнего равенства, получим

Матрица называется матрицей преобразования координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях исходных координат через новые. Обратная матрица дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней. Таким образом, матрица, дающая выражение новых координат через исходные, контраградиентная с матрицей замены базиса или, что то же самое, координаты вектора изменяются контравариантно с векторами базиса.

Подпространство.

Определение: непустое подмножество М векторного пространства V называется подпространством пространства V, если выполняются следующие условия:

1. Если x,yϵМ, то x+yϵM замкнуто относительно сложения векторов

2. Если xϵМ, а t – произвольное число, txϵМ замкнуто относительно умножения на скаляр

Примеры подпространств:

Множество является подпространством в любом пространствеV.

Система вида

(1)

Если хотя бы одно , то система (1)является неоднородной системой. Для того, чтобы решить неоднородную систему (1) в случае специальных видов функции можно воспользоваться также правилом как и для ДУn-го порядка.

Общее решение имеет вид

, -общее решение соответствующей однородной системы.

-частное решение неоднородной системы(1).

Если функция имеет специальный вид, то существуют следующие правила для записи частного решения системы(1).

Правило 1.

Если , то частное решение системы (1) ищем в виде

,где -многочлен степениm+k, m=max{}

К=0 если -не является корнем характеристического уравнения однородной системы

К=кратности , если является корнем характеристического уравнения.

Правило 2.

Если тогда частное решение системы (1) ищем в виде:

Метод произвольных постоянных.

Рассмотрим правила для нахождения частного решения неоднородных систем (1) справ.для таких функции , если же, не имеет специально вида, то систему (1) можно решить методом вариации произвольных постоянных. Суть метода в следующем: решаем ОСДУ, затем НС ищется в таком же виде, тольковарьируются в виде функции. Для того чтобы найти неизвестные функциивыбранное решение подставляем в само неоднородное решение системы, обычно из упращения полущенной системыс помощью которых простым интегрированием находится сами функции.

Замечание. Метод вариации можно использовать для любых неоднородных систем, в том числе когда имеет спец вид.

67. Устойчивость по Ляпунову.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям, называется устойчивым no Ляпунову при, если для любогосуществуеттакое, что для всякого решения, системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

(2)

имеют место неравенства

(3)

для всех . Если при сколь угодно маломхотя бы для одного решения, неравенства (3) не выполняются, то решениеназывается неустойчивым.

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

(4)

то решение , называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения, некоторой системы, аналогичной системе (1),

(1')

где .

Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1').

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было, можно найти такое, что для любого решения, начальные данные которого, удовлетворят условию

(2')

выполняются неравенства

(3')

для всех .

Для случая геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиусцилиндра с осью, в плоскостинайдется δ-окрестность точкитакая, что все интегральные кривые, выходящие из этой окрестности, для всехбудут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая.

Точка покоя , неустойчива, если при сколь угодно маломхотя бы для одного решения, условие (3') не выполняется.

Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения

(5)

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение . Начальному условиюудовлетворяет решение

(6)

уравнения (5). Начальному условию удовлетворяет решение

(7)

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:

Отсюда видно, что для всякого существует(например,) такое, что для всякого решения x(t) уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию, выполняется неравенство

для всех . Следовательно, решениеявляется устойчивым. Более того, поскольку

решение является асимптотически устойчивым.

Это решение является неограниченным при.

Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения

(8)

Решение. Оно имеет очевидные решения

(9)

Интегрируем уравнение (8): , или, откуда

(10)

Все решения (9) и (10) ограничены на . Однако решениенеустойчиво при, так как при любомимеем(рис.31).

Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует их устойчивости. Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.

Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

(11)

удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво.

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть . Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям, имеет вид

Возьмем произвольное и покажем, что существуеттакое, что приимеют место неравенства

 для всех 

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову.

59. Основные понятия о системах дифференциальных уравнений. Задача Коши для систем уравнения I порядка. Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений