30 Криволинейные интегралы. Определения

Пусть  — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

- (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть  — разбиение отрезка параметризации , причем .

Зададим разбиение кривой .

За  обозначим часть кривой от точки  до точки , .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если , то говорят, что функция  интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции  по кривой  и обозначают . Здесь  — дифференциал кривой.

Если , , , то говорят, что функции ,  и  интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций ,  и  по кривой  и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций ,  и  также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции  и обозначают:

.

Если кривая  замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка  принято писать .

[]Криволинейный интеграл первого рода

[]Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если  в одной точке, то

3. Монотонность: если  на , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль  функции :

Очевидно, что: .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

[]Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция  определена и интегрируема вдоль кривой  в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

[]Криволинейный интеграл второго рода

[]Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если  на , то

4. Оценка модуля:

5. Теорема о среднем: если  непрерывна на , то , такая что:  6. 

[]Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция  определена и интегрируема вдоль кривой  в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за  касательный вектор к кривой , то нетрудно показать, что

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении),  — касательный вектор кривой . Пусть также функция  и вектор-функция  определены и интегрируемы вдоль кривой  в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

Билет №28. Двойной интеграл.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.

1. Определение и условия существования двойного интеграла.

Пусть G— некоторая замкнутая ограниченная область, а z=f(x,y) — произвольная функция,определенная и ограниченная в этойобласти.

Предполагается, что граница области Gсостоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями видау=f(х) или х=φ(у), где f(x) иφ (у), —непрерывные функции.Такойобластью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числаотрезков, представляющих собойграфики непрерывных функций вида y=kx+bили х=а. Другой пример—область, ограниченная эллипсом (здесь граница состоит

из двух кривых:) и т. д.

Разобьем областьGпроизвольно на nчастей„ не имеющих общих внутренних точек, с площадями ,(i = l, 2,…,n) В каждой части , выберем произвольную точку (;) и составимсумму

σ =,(1)

которую назовем интегральной суммой для функции f(х,у) вобласти G. Назовем диаметром d(G) области Gнаибольшее раcстояние между граничными точками этой области. Обозначимчерез к наибольший из диаметров частичных областей (= max{d()}).

Определение. Если интегральная сумма (1) при имеетпредел, равный I*, то тот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегрирования, ds (или dxdy) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, чтофункция f(x, у) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости.Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате {(х; у)│0) следующим образом:

Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, каки в случае одной переменной, удобно воспользоваться теориейсумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойногоинтеграла. Аналогично доказательству соответствующей теоремыдля определенного интеграла доказывается следующая теорема.

Теорема 13.1. Функция f(x, у), непрерывная в замкнутойограниченной области G, интегрируема в этой области.Однако не следует считать, что двойной интеграл существуеттолько для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Теорема 13.2.Функция f (х, у), ограниченная в замкнутойограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек,лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у = f (х) или х= φ {у), интегрируема в этойобласти.

2. Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть в пространстве дано тело Р ограниченное сверху графикомнепрерывной и неотрицательной функции z = f(x, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующиепараллельны оси Оz, иснизу областьюG, лежащей в плоскостиОху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смыслаопределенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Рприводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.

Геометрическийсмысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равенобъему криволинейного цилиндра.

19