2.Числовые последовательностии операции с ними. Ограниченные неограниченные бесконечно большие бесконечно малые последовательности и некоторые их свойства.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное числосовокупность {}n =1,2,3 называется числовой последовательностью. Каж элемент называется элементом этой последовательности а числоn его номером. Число а называется пределом последовательности {} если для любого >0 найдется номерN() такой что для всех номеров

nN() выполняется неравенсто |-а|<;lim =а;a, n∞;

Последовательность у которой сущ-ет предел называется сходящейся,если не имеет предел то расходящийся. а/∞=0,а≠0/0=∞, ∞/а≠0=∞.

Послед наз-ся ограниченной сверху (снизу) если множество значений (элементов) ограничено сверху(снизу). Послед наз-ся огранич сверху(снизу) если найдется такое число b что для ≤b)( ≥b).

Послед наз-ся ограниченным если ограничена и сверху и снизу.

Пример:

1. {1/n} 1.1/2.1/3.1/4…..1/n послед ограничено и с верху и с низу

2. {sin(π/2)*n} π/2;π;3π/2;2π ограничена и с низу и с верху

3. {n} 1.2.3.4. ограничена снизу

Операции над числовыми последовательностями

Пусть даны след послед-ти:

Х1,х2,х3….хN

Y1,y2,y3….yN

Суммой этих последоватеьностей называется выражение вида:

Замечание. При определение частного двух последовательностей нужно требовать чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля. Если у этой последовательности обращается в ноль лишь конечное число элементов, то частное двух последовательностей определим лишь начиная с некоторого номера.

Последовательность {х} называется бесконечно большим если для любого А>0 можно указать N такое все элементыэтой последовательности удовлетворяет неравенству

Последовательность называется бесконечно малой если для любогоможно указать номерN такой что при все элементыудовлетворяют неравенству,.

П-р: прияв-ся б.б., а при- б.м

Билет №29. Двойной интеграл.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.

1. Определение и условия существования двойного интеграла.

Пусть G— некоторая замкнутая ограниченная область, а z=f(x,y) — произвольная функция,определенная и ограниченная в этойобласти.

Предполагается, что граница области Gсостоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями видау=f(х) или х=φ(у), где f(x) иφ (у), —непрерывные функции.Такойобластью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числаотрезков, представляющих собойграфики непрерывных функций вида y=kx+bили х=а. Другой пример—область, ограниченная эллипсом (здесь граница состоит

из двух кривых:) и т. д.

Разобьем областьGпроизвольно на nчастей„ не имеющих общих внутренних точек, с площадями ,(i = l, 2,…,n) В каждой части , выберем произвольную точку (;) и составимсумму

σ =,(1)

которую назовем интегральной суммой для функции f(х,у) вобласти G. Назовем диаметром d(G) области Gнаибольшее раcстояние между граничными точками этой области. Обозначимчерез к наибольший из диаметров частичных областей (= max{d()}).

Определение. Если интегральная сумма (1) при имеетпредел, равный I*, то тот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегрирования, ds (или dxdy) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, чтофункция f(x, у) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости.Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате {(х; у)│0) следующим образом:

Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, каки в случае одной переменной, удобно воспользоваться теориейсумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойногоинтеграла. Аналогично доказательству соответствующей теоремыдля определенного интеграла доказывается следующая теорема.

Теорема 13.1. Функция f(x, у), непрерывная в замкнутойограниченной области G, интегрируема в этой области.Однако не следует считать, что двойной интеграл существуеттолько для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Теорема 13.2.Функция f (х, у), ограниченная в замкнутойограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек,лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у = f (х) или х= φ {у), интегрируема в этойобласти.

2. Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть в пространстве дано тело Р ограниченное сверху графикомнепрерывной и неотрицательной функции z = f(x, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующиепараллельны оси Оz, иснизу областьюG, лежащей в плоскостиОху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смыслаопределенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Рприводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.

Геометрическийсмысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равенобъему криволинейного цилиндра.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функцияf (х, у) непрерывна в некоторой замкнутойограниченной области G. Тогда для функции f (х, у)существуетдвойной интеграл

(1)

Предположим, далее, что с помощью формул

x=x(u,v), y=y(u,v) (2)

Переходим к новым переменным u и v. Будем считать, что uиvопределяются из (2) единственным образом:

u = u {х,у),v= v(x,y).(3)

С помощью формул (3) каждой точке М(х;у) из области Gставится в соответствие некоторая точка М* (u; v) на координатнойплоскости с прямоугольнымикоординатами и и у. Пусть множество всех точек М* (u;v)образует ограниченную замкнутую область G*. Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и если определитель

(4)

отличен в G*от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных

(5)

Определитель (4) называется функциональным определителем илиякобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций x=x(u,v), y=y(u,v) по переменнымuи v.

Теорема 13.5.Если преобразование (2) переводит замкнутую ограниченную область Gв замкнутую ограниченную областьG* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеютв области G* непрерывные частные производные первого порядкаи отличный от нуля якобиан (4), а функция f(х,у) непрерывна в области G, то справедлива формула замены переменных (5).

Как в двойном, так и в определенном интеграле замена переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, болееудобному для вычисления.

Билет №30

Криволинейные интегралы