5. Числовые ряды. Признаки сходимости Даламбера, Коши

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность и формально образуем из элементов этой последовательности выражение вида :

Выражение (1) принято называть числовым рядом или просто рядом. Сумму первых n членов данного ряда будем называть n-й частичной суммой данного ряда, и обозначить символом

Ряд (1) называется сходящим, если сходится последовательность {} частичных сумм этого ряда. В случае если не существует, ряд называется расходящимся.

Пример

Поскольку последовательность его частичных сумм не имеет предела, ряд расходится.

Признак Даламбера:

1. Если для всех номеров k, или по крайней мере начиная с номера k, справедливо неравенство то ряд

сходится (расходится).

2. Если существует предел, ,

то ряд сходится при 1 и расходится при .

Признак Коши:

1. Если для всех номеров k или, по крайней мере, начиная с номера k, справедливо неравенство ,

то ряд сходится (расходится)

2. Если существует ,

То ряд

Сходится при и расходится при .

Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки.

Например:

- знакочередующийся ряд, где все .

6. Числовые ряды. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле и Абеля.

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность и формально образуем из элементов этой последовательности выражение вида :

Выражение (1) принято называть числовым рядом или просто рядом. Сумму первых n членов данного ряда будем называть n-й частичной суммой данного ряда, и обозначить символом

Ряд (1) называется сходящим, если сходится последовательность {} частичных сумм этого ряда. В случае если не существует, ряд называется расходящимся.

Пример

Поскольку последовательность его частичных сумм не имеет предела, ряд расходится.

Признак Лейбница:

Если все члены знакочередующегося ряда, будучи взяты по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.

Пусть дан ряд , где . Известно, что {} является невозрастающей и бесконечно малой. Частичную сумму этого ряда четного порядка можно переписать в виде: Так как каждая круглая скобка неотрицательна, то ясно, что при возрастании n последовательность { } не убывает.

С другой стороны, можно переписать в виде:

, откуда очевидно, что сумма для любого номера n будет . Т.о, последовательность четных частичных сумм не убывает и ограничена сверху. Эта последовательность сходится к некоторому числу S, т.е , вытекает, что и последовательность нечетных частичных сумм сходится к тому же числу S , т.е . Т.о, вся последовательность сходится к S.

Признак Дирихле-Абеля

Пусть функция f(x), g(x) определены на . Пусть далее функция f(x) непрерывна на и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную F(x). Предположим, что функция g(x) монотонно не возрастая на , стремится у нулю при , и имеет производную g’(x), непрерывную на . При этих условиях сходится несобственный интеграл:

Опр 1: Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве {x}, если для из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство: . Неубывающие и невозрастающие функции объединяются общим названием монотонные функции.

Опр 2: Если для из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство: называется возрастающей(убывающей). Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Пример 1

1. возрастает на всей числовой прямой.

2. является неубывающей на всей прямой.

Пример 2

Рассмотрим интеграл Полагая , легко убедится, что для этого интеграла выполнены все условия теоремы Абеля-Дирихле. Поэтому интеграл сходится.

25 Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называетсяфункциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность {f_n(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Пример. Рассмотрим последовательность 

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx 

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда  называются функции 

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности  называется суммой ряда  в точке х₀.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

^ Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  мажорируется числовым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как  всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1)  (1, ) расходится.

25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

^ Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.