2.Гипербола.

Гиперболой мы называли линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением (9)

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы |x|≥a т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2a(рис.32). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (a,0) и (-a,0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух , не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа a и b называют соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

В точности так же как и для эллипса док-ся

Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы координат яв-ся осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде y=kx, поскольку мы уже знаем, что прямая x=0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения находятся из уравнения

.

Поэтому если ,то

Это позволяет указать координаты точек пересечения (ab/υ, abk/υ) и (-ab/υ, -abk/υ), где обозначено υ=(.

Определение. Прямые с уравнением y=bx/a и y=-bx/a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Запишем уравнения асимптот в виде bx-ay=0 и bx+ay=0. Расстояние от точки M(x,y) до асимптот равны соответственно ,

Если точка M находится на гиперболе, то и

Предложение 7.Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно .

Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Действительно, хотя бы одно из расстояний илипри этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было бы неверно, произведение не было бы постоянно.

Введем число с, положив (10)

и с>0. Фокусами гиперболы называются точки ис координатами (с,0) и (-с,0) в канонической системе координат

Предложение 9. Расстояние от произвольной точки M(x,y) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы x:

, ь (11)

Предложение 10. Для того чтобы точка M лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.

Необходимость условия уже доказана. Для док-ва достаточности условия его нужно представить в виде

Дальнейшее отличается от док-ва предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2)

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями ,(13)

Предложение 11. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялась эксцентриситету ε.

Уравнение касательной к гиперболе в точке , лежащей на ней, выводится так же, как в соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид

(14)

Предложение 12. Касательная к гиперболе в точке есть биссектриса угла между отрезками, соединяющему эту точку с фокусами.

3. Парабола.

Параболой мы называли линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(15)

при условии p>0

Из уравнения (15) вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокусом параболы называется точка F с координатами (p/2,0) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением x=-p/2 в канонической системе координат

Предложение 13.Расстояние от точки M(x,y), лежащей на параболе, до фокуса равно

(16)

Для док-ва вычислим квадрат расстояния от точки M(x,y) до фокуса по координатам этих точек :и подставим сюдаиз канонического уравнения параболы. Мы получаем.

Отсюда в силу x≥0 следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки M до директрисы равно Отсюда вытекает необходимость следующего условия.

Предложение14Для того чтобы точка M лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директриссы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка M(x,y) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:

Возведя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы (15).Это заканчивает док-во.

Параболе приписывается эксцентриситет ε=1. В силу этого соглашения формула

верна и для эллипса, и гиперболы, и для параболы

Введем ур-е касательной к параболе в точке, лежащей на ней. Пусть 0. Через точку проходит график ф-ции y=f(x), целиком лежащий на параболе.

Для ф-ции f(x) выполнено тождество , дифференцируя которое имеем 2f(x)f’(x)=2p. Подставляя x= инаходим. Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе

Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним . Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид (17)

Предложение 15.Касательная к параболе в точке есть биссектриса угла , смежного с углом между отрезком, который соединяетс фокусом и лучом , выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

Док-во. Рассмотрим касательную в точке . Из ур-я (17) получаем ее направляющий вектор. Значит,и=. Векторимеет компонентыи, а потому

fтавляямеем 2 араболе.к параболе для параболы

одобные члены, мы получаем из него уравнение педеляется уравнением

Но =. Следовательно,=. Это заканчивает док-во.