Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Опр. Определитель матрицы, получаемой при вычеркивании матрицы А нескольких строк и столбцов, называется минором матрицы А.

Очевидно, что надо вычеркивать столько строк и столбцов, чтобы оставшаяся матрица была квадратной, иначе нельзя найти ее определитель. Если матрица А была квадратной, то вычеркиваются одинаковое число строк и столбцов. Если вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, то минор обозначается М_ij и называется минором элемента а_ij, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Опр. Число А_ij=(-1)^i+jM_ij называется алгебраическим дополнением элемента а_ij .

Теорема. Если ,то и это представление называется разложением определителя по элементамi-й строки.

Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай

,

т.е. при. Тогда

2. Рассмотрим случай , т.е. вi-й строке только элемент j-го столбца может отличаться от нуля. Тогда i-ю строку переставляя с соседними переводим на первую строку. При этом знак определителя меняется i-1 раз. Далее, j-й столбец переводим на первый столбец, переставляя с соседними столбцами. При этом знак определителя меняется j-1 раз. Итак, учитывая предыдущий случай, получим .

3. Общий случай. Представим определитель |A| как сумму определителей |A_k| таких, что у всех определителей строки, за исключением i-й строки, совпадают со строками определителя |A|. Для определителя |A_k| i-я строка имеет вид (0, …, 0, a_ik, 0,…, 0). Используя предыдущий случай, получим

,

что требовалось доказать.

Замечание. Определитель можно разлагать и по элементам столбца.

Следствие. Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Действительно, сумма представляет разложение поk- й строке определителя, у которого k-я строка совпала с i-й строкой. А определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Пример. Найти определитель .

Разлагаем по элементам 1-го столбца. Получим

|A|=2(-1)¹⁺¹2(12+8+30+10-48+6)-3()3+0+45-0- 12+9=36-135=-99.

Обратная матрица

Опр. Пусть А – матрица n-го порядка. Матрица А^-1 называется обратной к А, если А^-1А=АА^-1=Е. если существует А^-1, то А называется обратимой.

Замечание. Если А^-1 существует, то она единственная.

Действительно, пусть А^’ другая, обратная к А. тогда умножая А^-1А=Е на А^’ справа получим

(А^-1А)А^’=ЕА^’А^-1(АА^’)=А^’А^-1Е=А’ A^-1=A^’, что требовалось доказать.

Теорема. А^-1 существует тогда и только тогда, когда det A0 (если det A0, то матрица А называется невырожденной).

Док-во. Необходимость. Дано, что А^-1 существует. Тогда АА^-1=Е|A||A^-1|=|E|=1. Значит, |A| 0, иначе 0=1, что невозможно.

Достаточность. Дано, что |A| 0. Заменим в матрице А все элементы их алгебраическими дополнениями. Полученная матрица называется присоединенной матрицей. Транспонируем присоединенную матрицу и разделим каждый ее элемент на =|A| 0. Проверим, что получили обратную матрицу. Элемент с_ik произведения

имеет вид

.

При i=k в числителе имеем разложение |A| по k-й строке, поэтому с_kk=/=1. Приik в числителе имеем сумму произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов другой k-й строки, что дает нуль. Итак, с_ik=0 при ik. Значит, АА^-1=Е. Аналогично проверяется, что А^-1А=Е.

Пример. Найти А^-1, если она существует, А=.

Имеем |A|= -3+6+0-8-2-0= -70. Значит, А^-1 существует.

= -5, = -17, А₁₃= -1,

А₂₁= -(-2)=2, А₂₂=11, А₂₃= -1,

А₃₁=2, А₃₂= -(-4)=4, А₃₃= -1.

Тогда присоединенная матрица имеет вид

.

Транспонируем и делим все элементы на |A|= -7. Получим обратную матрицу

.