86. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики.

Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений.

Распределение вероятностей называют равномерным если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайных величин, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину в Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Т.о., Х имеет равномерное распределение.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть Х задана плотностью распределения f(x)

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывных случайных величин Х называют f(x)- первую производную от функции распределения F(x).

f(x)=F´(x)

Допустим что все возможные значения Х€[a,b]. Разобьем отрезок на n частичных отрезков длиной ∆х1, …,∆х2 . Надо определить мат.ожидание: составим сумму произведений возможных значений хi на их вероятности попадания их в интервал ∆хi. ∑ хi f(хi) ∆ хi.

Перейдя к пределу получим . Мат.ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой €[a,b], называют определенным интегралом

М(Х)=

Дисперсией непрерывной случайной величины Х возможные значения которой €[a,b], называют мат.ожидание квадрата ее отклонения.

D(X)=

более удобные формулы: D(X)=

Нормальное распределение.

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами а и σ .

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть мат.ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

А) по определению мат.ожидания непрерывной случайной величины

М(Х)= =

Введем новую переменную z=(x-a)/ σ, x=σz+a, dx=σdz

M(X)=

Первый интеграл =0, т.к подинтегральное выражение - нечетная функция, второй интеграл =а, т.к - интеграл Пуассона = √2π

М(Х)=а

Б) по определению мат.ожидания непрерывной случайной величины, учитывая что М(Х)=а

Введем z=(x-a)/σ, x-a=σz, dx=σdz

Интегрируя по частям u=z, dv=dz. Найдем D(X)= σ²

σ(Х)=√ D(X)= √ σ²= σ. Cреднее квадратичное отклонение нормального распределения равно параметру σ

Замечание. Нормальным нормированным распределением называют норамальное распределение с параметрами а=0, σ=1