83. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

82. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностисобытия А. Как найти вероятность события А ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Док-во. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из совместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из совместных событий. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

. (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

.Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

Формула Бейеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называютгипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

. (*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменилось ( в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности.

.

Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем

.

Отсюда

.

Заменив здесь P(A) по формуле (*), получим

.Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Бейеса( по имени англ. матнматика, который их вывел). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того , как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.