79. Случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

X x1 x2 . . . X п

Р p1 p2… pn

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное зна­чение, заключаем, что события X = x1, X =x₂, . . . , X= х_п образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р+-р₂+... сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х,-, р/), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех

испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q = 1 — р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x1=0, х2 = 1,x3=2 ..., х_п+1=п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

(*)

где k = 0, 1, 2, . . ., п.

Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения р" определяет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события п — 1 раз; . . . ; последний член q^п определяет вероятность того, что событие не появится ни разу,

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X n n-1 . . . K . . . 0

P . . . . . .

Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности А появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р0,1). В этих случаях(п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона,.

Итак поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр =.Как будет следовать из дальнейшего ,это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Т.к. , то.Следовательно,

Приняв во внимание, что n имеет очень большое значение, вместо найдем При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: п хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим п к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при п вероятность р0. Итак,

Таким образом (для простоты записи знак приближенного равенства опущен),

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­рыми можно найти Р_п(k), зная k и .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0-0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия,

Решение. По условию, п:=5000, р=-- 0,0002, k = 3. Найдем :

= пр = 5000 • 0 ,0002 =1

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно 0,06.

Закон равномерного распределения вероятностей. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений.

Распределение вероятностей называют равномерным если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайных величин, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину в Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Т.о., Х имеет равномерное распределение.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть Х задана плотностью распределения f(x)

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывных случайных величин Х называют f(x)- первую производную от функции распределения F(x).

f(x)=F´(x)

Допустим что все возможные значения Х€[a,b]. Разобьем отрезок на n частичных отрезков длиной ∆х1, …,∆х2 . Надо определить мат.ожидание: составим сумму произведений возможных значений хi на их вероятности попадания их в интервал ∆хi. ∑ хi f(хi) ∆ хi.

Перейдя к пределу получим . Мат.ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой €[a,b], называют определенным интегралом

М(Х)=

Дисперсией непрерывной случайной величины Х возможные значения которой €[a,b], называют мат.ожидание квадрата ее отклонения.

D(X)=

более удобные формулы: D(X)=

Нормальное распределение.

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами а и σ .

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть мат.ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

А) по определению мат.ожидания непрерывной случайной величины

М(Х)= =

Введем новую переменную z=(x-a)/ σ, x=σz+a, dx=σdz

M(X)=

Первый интеграл =0, т.к подинтегральное выражение - нечетная функция, второй интеграл =а, т.к - интеграл Пуассона = √2π

М(Х)=а

Б) по определению мат.ожидания непрерывной случайной величины, учитывая что М(Х)=а

Введем z=(x-a)/σ, x-a=σz, dx=σdz

Интегрируя по частям u=z, dv=dz. Найдем D(X)= σ²

σ(Х)=√ D(X)= √ σ²= σ. Cреднее квадратичное отклонение нормального распределения равно параметру σ

Замечание. Нормальным нормированным распределением называют норамальное распределение с параметрами а=0, σ=1