39. Ряда Лорана. Классификация изолированных особых точек

1. Кольцо сходимости ряда Лорана. =P(z)+Q(z). P(z) называетсяправильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)C(|z-z₀|<R₁). В какой области Q(z) будет аналитической функцией?  Сделаем замену 1/(z-z₀)= ; Q(z)Q()=C(||<1/R₂ ), где мы обозначили через 1/R ₂ радиус сходимости полученного степенного ряда. При R ₂<R₁ существует общая область сходимости- круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁. Следствия теоремы Абеля: (Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z₁ z₀ , то он сходится и при z: |z-z₀|<|z₁-z₀ |, причем в круге |z-z ₀|<|z₁-z₀| сходится равномерно.) 1. C(R₂<|z-z₀|<R₁). 2.    Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также C(R₂<|z-z₀|<R₁). 3.    R₁ определяется через {c _n}, n=0,...,:  R₁=1/L₁, L₁=или L₁=, а R₂ -через {c _-n}, n=1,...,: R₂=, или R₂=. 4.    Коэффициенты ряда Лорана c_n через значения суммы ряда в точке z ₀ не определяются! В точке z ₀ сумма ряда Лорана не определена! 2. Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана. Теорема 1. Если f(z)C(R₂<|z-z₀|<R₁ ), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана

f(z)= .Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца : (R₂<|z-z₀|<R₁ ) и построим окружности C'₁ : | -z₀|=R'₁ и C'₂ : | -z₀|=R'₂ , с центром в точке z ₀ и радиусами R'₁ и R'₂ : R₂<R'₂<|z-z₀|< <R'₁<R₁ . По формуле Коши для многосвязной области (f(z₀)=)

f(z)= +  =P(z)+Q(z).

На окружности C' ₁: | -z₀|=R’₁ выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменнойна C получим P(z)=, гдеc_n=, n0. На окружности  C'₂: | -z₀|=R’₂ выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде . В результате почленного интегрирования этого ряда получим: Q(z)=, n>0, где c_-n=. Изменив направление интегрирования, получим: c_-n= , n>0. Подынтегральные функции в выражениях для c _n и c _-n являются аналитическими в круговом кольце R ₂<|z-z₀|<R_1. Поэтому в силу теоремы Коши (Если f(z)C(g), в односвязной(область g на плоскости называется односвязной, если для  замкнутого контура g, ограниченная им часть плоскости целикомg.) области g, то для замкнутого контура  g ) значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение c _n=, n=0, 1, 2,…, где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R ₂<|z-z₀|<R₁ и содержащий точку z ₀ внутри. Для f(z) окончательно можно записать: f(z)= , где

c _n= . Т.к. z-произвольная точка внутри кольца R ₂<|z-z₀|<R₁ => ряд  сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R₂<R'₂|z-z₀|R'₁<R₁ ряд сходится к f(z) равномерно. Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= , где хотя бы один коэффициент c'_nc_n . Тогда всюду внутри кольца R ₂<|z-z₀|<R₁ имеет место равенство: =. Проведем окружность C_R , радиуса R, R ₂<R<R₁ , с центром в точке z ₀ . Тогда ряды исходятся на C_R равномерно. Умножим оба ряда на (z-z ₀)^-m-1 , где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим . Положив z-z₀=Re^{i }., получим .=> для произвольного целого m   c'_m=c_m .  Точной областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁ , на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой (к функции) сходится данный ряд.

3. Устранимая особая точка. Полюс. Опр. Точка z ₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и  C(0<|z-z₀|< (z₀ )), а точка z ₀ является особой точкой (т.е. нет никакой окрестности, кроме R=0, в которой ряд сходился бы, да еще к f(z)) функции f(z). Другими словами, точка z ₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая окрестность точки z ₀ , в которой нет других особых точек функции f(z). В самой особой точке z ₀ функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z ₀ можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце 0<|z-z₀|< (z₀). Поведение функции f(z) в окрестности точки z₀ определяется главной частью ряда Лорана Q(z)=.

Возможны три случая:

a)    Для n>0  c_-n=0; Q(z)=0; f(z)c₀ при zz₀-  устранимая особая точка. z₀ - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z₀, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z ₀)=c₀. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z₀|<(z₀): |f(z)|<M и f(z)=(z-z₀)^m(z), m0- целое,(z₀)≠0; и если , то z₀ - нуль m- того порядка. Теорема 3.1. Если f(z)C(0<|z-z₀|<(z₀)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|<(z₀), то z₀ - устранимая особая точка. Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c_-n=, n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z₀ и радиуса : | -z₀|= . Тогда, сделав замену -z₀= e^{i },  d=ie^{i }dи учтя, что |e^{in }|=1, получим оценку: |c_-n|< M^n-1 →0 при →0. Т.к. значения c_-n не зависят от , то c_-n=0.  b)    Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)= ;

c_-m0. f(z)→при z→z₀- полюс порядка m, f(z)=;(z₀)0Теорема 3.2.    Если f(z)C(0<|z-z₀|<(z₀)), z₀ - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>при z→z₀ (независимо от способа стремления z к z ₀ ), то z₀ - полюс f(z). Доказательство. |f(z)|=>при z→z₀ => для A>0 : 0<|z-z₀|<, |f(z)|>A. Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)C(0<|z-z₀|<); |g(z)|<1/A=M => z₀ - устранимая особая точка g(z) (по теореме 3.1.); => g(z)=(z-z₀)^m(z), m≥0 , (z₀)≠0 => f(z)= ;(z₀)≠ 0 

4. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. c)    Точка z ₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z₀ содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z₀). (Бесконечное число коэффициентов c_-n ≠0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для комплексного числа B и >0, в - окрестности существенно особой точки z₀ 0<|z-z₀|< z₁: |f(z₁)-B|<. Доказательство. (От противного)  Пусть такие ₀ и ₀: для z  0<|z-z₀|< ₀; |f(z)-B|>₀. Рассмотрим g(z)==> |g(z)|==M. => z₀ - устранимая особая точка g(z) (по теореме 3.1.); => g(z)=(z-z₀)^m(z), m≥0 , (z₀)≠0 => f(z)=B+;(z₀)≠0 => z₀- полюс f(z) m≥0, или правильная точка при m=0. Получили противоречие.  Зам.1. {_n}→0 =>{}→z₀. {f()}→B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {}→z₀ такую, что {f()} сходится кнаперед заданному числу. Классификация изолированных особых точек на языке пределов.

Пусть z₀ - изолированная особая точка f(z)C(0<|z-z₀|<(z₀)). a)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<(z₀) и при z→z₀   f(z)→c₀   |c₀|<, то z₀ - устранимая особая точка f(z). b)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<(z₀) и при z→z₀ f(z)→, то z₀ - полюс f(z). c)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<(z₀) и при z→z₀ f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z₀ - существенно особая точка f(z).

Опр. zявляется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, еслиR>0: для z: |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0. Ряд Лорана в окрестности z: f(z)=, R<|z|<.a)    zназываетсяустранимой особой точкой f(z), если все c_n =0 при n>0 f(z)= , или конечный предел f(z) при z→. b)    zназываетсяполюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности zсодержитконечное число членов с положительными степенями f(z)= , (m>0) или f(z)→при z→. c)    Точка zназываетсясущественно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности zсодержит бесконечно много членов с положительными степенями z:  f(z)=, или при z→у f(z) нет конечного или бесконечного предела.