38.Разложение в ряд тейлора аналитических функций

Ряд Тейлора. Итак, степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию. Естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема Тейлора. Функция f(z), аналитическая внутри круга , может бытъ представлена в этом круге сходящимся степенным рядом причем этот ряд определен однозначно.

Док-во:Выберем произвольную точку z внутри круга и построим

окружность Ср с центром в точке радиуса р < R, содержащую точку z внутри (рис.3). Очевидно, для любой точки z данной области такое построение возможно. Так как точка z- внутренняя точка области , в которой функция f(z) является аналитической, то по формуле Коши имеем (20)

Осуществим в подынтегральном выражении преобразование

(21)

Здесь воспользовались формулой

- прямое определение суммы ряда как предела частичных сумм, и очевидным соотношением . Приряд (21) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом. Подставляя (21) в (20) и интегрируя почленно, получаем

(22)

Введя обозначение

(23)

Перепишем (22) в виде сходящегося в выбранной точке z степенного ряда:

(24)

В формуле (23) окружность С_р можно заменить, в силу теоремы Коши, любым замкнутым контуром С, лежащим в области и содержащим точку внутри. Так как z - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (24) сходится к f(z) всюду внутри круга , причем в круге этот ряд сходится равномерно. Итак, функция f(z), аналитическая внутри круга , разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд. Коэффициенты разложения (23) для производных аналитической функции имеют вид

(25)

Остается доказать единственность разложения (24). Предположим, что имеет место другое разложение

(24’)

Где хотя бы один коэффициент Степенной ряд (24’) сходится в круге , поэтому на основании формулы-коэффициенты степенного ряда выражается через эти формулы,, что совпадает с выражением (25) для коэффициентовCn. Тем самым единственность коэффициентов доказана.

Разложение функции, аналитичной в круге , в сходящийся степенной ряд (24) часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (24) – рядом Тейлора.

Степенные ряды элементарных функций комплексного переменного

Среди элементарных функций действительной переменной особую роль играют показательная функция и тригонометрические функцииsinx, cosx. Эти функции могут быть заданы своими разложениями в ряды Тейлора:

(1’)

(2’)

(3’)

Причем эти ряды сходятся при всяком значении x. При действительных z=x выражения соответственно совпадают.

Как следует из теоремы Абеля, областью сходимости рядов является вся плоскость комплексной переменной, т. е. ряды представляют собой целые функции комплексной переменной z, являющийся аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость элементарных функций действительной переменной ,sinx,cosx

Для введенных функций естественно сохранить прежние обозначения. Положим

(1’)

(2’)

(3’)

С помощью функции можно постоить гиперболические функции комплексной переменной:

(4’)

(5’)

Аналагичным образом с помощью тригонометрических функций можно построить

, и т.д.

Для всех построенных функций комплексной переменной сохраняются многие основные свойства соответствующих элементарных функций действительной переменной. Это будет установлено на основании некоторых общих положений, а сейчас построим продолжение на комплексную область еще двух элементарных функций:

Отметим, что эти функции , в отличие от введенных выше функций, уже не являются целыми функциями, так как определяющие их ряды сходятся не на всей комп-лексной плоскости, а лишь внутри кругов единичного радиуса.

В заключение заметим, что если функция f(x) действительной переменной х задана своим степенным рядом

(6’)

сходящимся на отрезке [а,b], то существует аналитическая функция f(z) комплексной переменной z, являющаяся аиалитическим продолжением f(x) в комплексную область G, содержащую отрезок [а, b] действительной оси. Указанное обстоятельство позволяет называть функцию действительной переменной f(x), представимую рядом (6’), аналитической функцией.