45. Линейные нормированные пространства. Линейные функционалы и операторы в лнп. Теорема Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала с сохранением нормы.

Линейные нормированные пространства.

Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы, а C - множество комплексных чисел.

Опр. Множество L называют линейным пространством, если на нем определены две операции: 1) операция сложения любых двух элементов этого множества и 2) операция умножения элементов этого множества на комплексное число.

Опр. Множество L называется линейным пространством над полем комплексных чисел C, если:

1) каждой паре элементов x, y из этого пространства поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x и y (обозначение:z=x+y);

2) каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением и x (и обозначаемый x или x);

3) указанные операции удовлетворяют следующим аксиомам:

а) x+y=y+x для любых x,yL;

б) x+(y+z)=(x+y)+z для любых x,y,zL;

в) существует "нулевой" элемент 0L такой, что x+0=x для любого xL;

г) для каждого xL существует "противоположный" ему элемент (-x)L, такой, что x+(-x)=0;

д) 1*x=x для любого xL;

е) (x)=()x для любого xL и любых ,C; ж) (+)x=x+x для любого xL и любых ,C; (x+y)=x+y для любого C и любых x,yL.

Иногда рассматривают линейное пространство не над полем комплексных, а над полем действительных чисел R (т.е. вместо операции умножения на комплексные числа рассматривается операция умножения на действительные числа). Аксиомы линейного пространства при этом не меняются. Опр. Линейное пространство имеет размерность n (или, коротко, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно зависимы. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейно независимых элементов. Опр. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число ||x||, причем выполнены следующие аксиомы: 1) ||x||≥0 для любого x, причем ||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0; 2) ||x||=||*||x|| для любого x и любого комплексного; 3) ||x+y||≤||x||+||y|| для любых x, y из данного пространства. Простейшими примерами нормированных пространств могут служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В пространстве непрерывных функций на [a,b] (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:,. Пусть теперь- некоторая последовательность элементов линейного нормированного пространства L, аx₀- некоторый фиксированный элемент L. Для каждого номера n найдем ||x_n- x₀||. Тем самым получим числовую последовательность.

Опр. Элемент x₀ линейного нормированного пространства L называется пределом последовательности элементов , если(илиЕсли последовательностьимеет предел, то она называетсясходящейся (по норме данного пространства), в противном случае - расходящейся.

Опр. Последовательность элементов линейного нормированного пространства называетсяфундаментальной, если >0,  N,  n, m >N  ||x_n- x_m||<. Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если, то>0,  N,  n >N  ||x_n- x₀||</2; тогда для всех номеровn, m >N что и доказывает фундаментальность последовательности .Опр. Линейное нормированное пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Полное линейное нормированное пространство называют также банаховым пространством.

Пространства R и C - банаховы, а пространство Q - нет.

Опр. Точка xL называется предельной точкой множества M, если существует последовательность точек множества M, отличных от x, сходящаяся к x.

Опр. Замыканием множества M называется объединение множества M и всех его предельных точек.

Опр. Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием. Другими словами, множество M замкнуто, если из того, что последовательность точек x_n множества M сходится к точке x следует, что x принадлежит M.

Опр. Множество называется плотным, если его замыкание совпадает со всем пространством.

Опр. Пространство называется сепарабельным, если в нем существует плотное счетное подмножество. (множество называется счетным, если оно допускает взаимно однозначное отображение на множество натуральных чисел)

Линейные операторы и функционалы.

Опр. Пусть X, Y — линейные пространства; отображение A: X  Y называется линейным, если для x, у  X, , гдеx₁,..., x_n и (Ax)₁,..., (Ax)_n — координаты векторов x и Ax соответственно.

Непрерывный оператор A: X  Y, где X, Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что поэтому его называют такжеограниченным.

Совокупность всех ограниченных операторов L (X, Y) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A||.

Опр. Обратным к оператору А:XY называется оператор A^-1 , такой, что (Ax = y)  (A^-1y = x). Оператор, для которого (на всем Y) существует обратный, называется обратимым. Оператор, обратный к линейному, также является линейным.

Опр. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве L называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из L и обладающую следующими свойствами: 1) f(x) - линейна, т.е. f((x) + (у)) =f(x) +f(y), где х и у — любые элементы из L,  и  — числа;

2) f(x) непрерывна.

Опр. Последовательность {x_n} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если для любого линейного функционала.

Опр. Нормой в линейном пространстве L называется функционал [т.е. отображение ], удовлетворяющий следующим условиям: 1) ||x||≥0, причем ||x||=0, только при x=0 [положительная определенность нормы]; 2) ||x+y||≤||x||+||y|| для любых x,yL [неравенство треугольника]; 3) ||x||=||*||x|| для любого xL и любого числа [положительная однородность нормы].

Теорема (Хана-Банаха). Пусть p - однородно-выпуклый функционал, определенный на линейном пространстве L над R, и пусть L₀ - линейное подпространство в L. Если f₀ - линейный функционал на L₀, подчиненный p, т.е. на L₀ выполнено неравенство || f₀(x) ||  p(x), то f₀ может быть продолжен до линейного функционала, подчиненного f на всем L.