Полные пр-ва.

Метрическое пр-во наз-ся полным, если в нём всякая фундаментальная посл-ть имеет предел, принадлежащий этому пр-ву.

Например. Пр-во с введенными метриками- полны; это следует из критерия Коши существования предела посл-ти точек этого пространства.

Терема о вложенных шарах

Пусть в полном метрическом пространстве Х дана последовательность замкнутых шаров ,n=1,2,…,вложенных друг в друга (т.е.приi>k), радиусы которых стремятся к нулю. То сущ-ет одна и только одна точка a, принадлежащая этим шарам.

Д-во: По усл. . А так как приm>n то посл-ть, т.е. посл-ть-фундаментальна. Вследствии полноты Х сущ-ет а=lim. Т.к.для любыхn,p=1,2,…, ,. И так как шарзамкнут , тодляn=1,2,… Если бы существовала другая точка b (ab), принадлежащая всем шарам, то , и с другой стороны имели бы, что невозможно.

Изометрия и сепарабельность.

Два метрических пр-ва Х и У наз-ся изометрическими, если между их элементами можно установит взаимно-однозначное соответствие. С точки зрения вопроса сх-ти, полноты … два изометрических пр-ва можно считать идентичными.

Метрическое пр-во наз-ся сепарабельным, если в нём сущ-ет счётное или конечное всюду плотное мн-во.

Если всюду плотное в Х подмн-во М метрического пр-ва Х явл-ся подпространством, то и Х сепарабельно.

Пр-ва С[a,b] сепарабельны

Пополнение метрич-х пространств.

Любое метрическое пр-во можно пополнить, точнее: оно всегда может быть вложено в другое полное метрическое пр-во Х’ такое, что в нем сущ-ет всюду плотное в Х’ подпр-во Х0, изометричное пр-ву Х. Пр-во Х’ наз-т пополнением или замыканием пр-ва Х.

42. Метрические пространства. Изометрия. Непрерывные отображения метрических пространств.

Определение метрического пространства.

Множество Х наз-ся метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у

Поставлено в соответствии вещественное число , удовлетворяющее след. условиям:

1) >=0, =0  х=у (аксиома тождества)

2) = (аксиома симметрии)

3) <=+ (аксиома треугольника)

Число наз-тся расстоянием между элементами х и у (или метрикой пространства Х), а условия (1)-(3) – аксиомами метрики. Элементы метрического пространства наз-тся точками.

Из аксиом метрики следует обратное неравенство треугольника.

|-|<=

Всякое мн-во Y, принадлежащее метрическому пространству Х и имеющее те же расстояния между элементами, что и в Х, назовём подпространством пространства Х. Диаметром d(A) мн-ва Аназовём величину

d(a)=

Множества Аназовём ограниченным, если его диаметрd(A)<; это означает, что найдутся такой элементи постоянная с>0, что

Назовём шаром, замкнутым шаром и сферой в точке и радиусомr>0 соответственно следующиеие мн-ва точек:

,

Примеры метрических пространств.

1.Числовая прямая. Пусть -множество всех вещественных чисел., а За Х можем взять отрезок (а,b), где a<b-вещественные числа.

2.Пусть Х-конечное множество, состоящее из элементов . Положим

3. n-мерное вещественное пространство. Пусть , х=(),y=(),

x,y. Метрику в можно ввести разными способами, например,

Для каждой метрики получаем свое метрическое пространство; шар, сфера в этих трех метрических пространствах не совпадают между собой при r>0.

4. Пространство числовых последовательностей(X-множество бесконечных числовых последовательностей

Пусть ии.Положим