71. Задача о колебаниях струны с закрепленными концами. Построение ее решения методом Фурье.

Рссмотрим колебания ограниченной струны с закрепленными концами, т.е. решим уравнение струны(2.6) с начальными условиями

(2.33) (здесь l и далее,а не один)

и с граничными условиями

t>0. (2.34)

Будем искать стоячие волны, т.е. решение уравнения струны (2.6), определенные при , удовлетворяющие граничным условиям (2.34) и имеющие вид

u(t,x)=T(t)X(x). (2.35)

Термин «стоячая волна» оправдан по тому, что форма струны при колебаниях вида (2.35) по сути дела со временем не меняется (одна лишь умножается на мнеожитель, зависящий от времени). Подставляем u(t,x) в уравнение (2.6) получим

Исключая неинтересный тривиальный случай, когда T(t)0 или X(x) 0, мы можем поделить обе части полученного соотношения на . В результате получаем:

(2.36)

Левая часть этого соотношения не зависит от x, а правая от t. Поэтому ясно, что обе они постоянны, т.е. что (2.36) равносильно выполнение двух соотношений

, (2.37)

(2.38)

с одной и той же постоянной . Далее из граничных условий (2.34) вытекает, что X(0)=X(l)=0 (2.39)

Задача на собственные значенияX’’=X, X(0)=X(l)=0. (2.40)

Яв-ся частным случаем так называемой задачи Штурма- Лиувилля. В общем виде мы обсудим задачу Штурма- Лиувилля позднее, а пока решим конкретную задачу (2.40), т.е. найдем те значения (собственные значения), при которых задача (2.40) имеет нетривиальные решения (собственные ф-ции), найдем сами собственные ф-ции.

Рассмотрим следующие возможные случаи.а) = , >0.

Тогда решение уравнения X’’=X имеет общее решение

Из условия X(0)=0 находим =0, а из условия X(l)=0, получается, что =0, откуда =0, т.е. X(x)0и значит, число >0 не яв-ся собственным значением.б) =0

Тогда X(x)= x+ из граничных условий опять следует, что ==0 и X(x) 0в) = -, >0.

Тогда имеем

Из условия X(x)=0 следует, что =0, из условия X(l)=0, получается, что =0. Считая 0, получаем sin l=0 , откуда получаем следующий набор значений :

, k=1,2,…., (2.41)

и соответственно, собственных значений и собственных ф-ций:

, , k=1,2,…., (2.42)

Легко найти также соответствующие значения T(t). А именно, из уравнения (2.37) с = находим

, (2.43)

откуда получается общий вид стоячей волны:

, k=1,2,…, (2.44)

Частоты колебаний каждой точки x в решении равны

, k=1,2,…, (2.45) и называются собственными частотами струны.

Теперь будем искать общее решение уравнения (2.6) с граничными условиями в виде суммы («суперпозиции») стоячих волн, т.е. в виде

. (2.46)

Нам нужно удовлетворять начальным условиям (2.33). Подставляя решение (2.46) в эти условия, получим

, (2.47)

, (2.48)

Таким образом, ф-ции и необходимо разложить по системе собственных ф-ций

Отметим, прежде всего, что эта система ортогональна на отрезке [0,l]. Это можно проверить непосредственно, но можно и сослаться на общий факт об ортогональности собственных векторов симметричного оператора, отвечающих различным собственным значениям. В качестве оператора нужно взять оператор L, равный , но с областью определения , состоящий из ф-ции , для которых . Интегрированием по частям проверяется, что

, (2.49)

где скобки означают скалярное произведение в : 2.50)Итак, система ортогональна в . Хотелось бы установить ее полноту. Будем для простоты считать, что l=п (общий случай сводится к этому введением независимой переменной ), так что система имеет вид и рассматривается на [0,п]. Пусть . Продолжим f нечетным образом на [-п,п] и разложим на отрезки [-п,п] в обычный ряд Фурье по системе {1,coskx, sinkx; k=1,2,…}. Ясно, что это разложение не будить содержать 1 и coskx ввиду нечетности продолжения. Поэтому на [0,п] мы как раз получим разложение по системе

Отметим еще ,что если ф-ция непрерывна , имеет кусочно непрерывную производную на [0,п] и f(0)=f(п)=0, то ее периодическое с периодом 2п и нечетное продолжение также непрерывно и имеет кусочно- непрерывную производную. Поэтому она разлагается в равномерно сходящийся ряд по системе Если же указанное 2п-периодическое продолжение принадлежит классу , а (k+1)-я его производная кусочно- непрерывна , то это разложение можно k раз дифференцировать с сохранением равномерной сходимости.

Итак, разложения в ряды (2.47)и (2.48) существует, причем налагая на и условия гладкости и некоторые граничные условия, мы можем добиться сколь угодно хорошей сходимости этих рядов. Коэф-ты этих рядов однозначно определены :

(2.51)

(2.52)

Подставляя эти значения и в (2.46), мы получим решение искомой задачи.

Метод Фурье позволяет установить и единственность решения- мы покажем это ниже на примере более общей задачи.

Рассмотрим задачу о струне, на которую действует распределенная сила:

, t, (2.53)

Концы струны будем считать закрепленными(т.е. выполнение условия (2.33)), а при t=0 зададим, как и выше ,начальное положение и скорость струны- условия (2.33).

Поскольку собственные ф-ции образуют полную ортогональную систему при на [0,l], то любую разумную ф-цию g(t,x), определенную при , можно разложить по этой системе с коэф-ми , зависящими от t. В частности мы можем написать:

(2.54) (2.55)

Где - известные ф-ции , а нужно определить. Подставляя эти разложения в уравнение (2.53), получим

(2.56)

где - собственные частоты струны. Из (2.56) следует, в силу ортогональности системы собственных ф-ций, что

, k=1,2,…, (2.57)

Из начальных условий

(2.58)

(2.59)

находятся и , т.е. мы можем однозначно определить ф-ции и , следовательно, решение u(t,x).

Интересен, в частности, случай, когда f(t,x) имеет вид гармонического колебания по t, например,

f(t,x)=g(x)sinωt. (2.60)

Ясно тогда, что правые части уравнения (2.57) будут иметь вид

(2.61)

Пусть, например, 0. Тогда при («нерезонансный случай») уравнения (2.57) имеет колеблющееся частное решение вида

. (2.62)

так что его общее решение также будет иметь осциллирующий вид:

(2.63)

При («резонансный случай») есть частное решение вида

(2.64)

которое можно представлять себе как колебание с частотой ω и с неограниченно растущей амплитудой. Общее решение и ф-ция u(t,x) в этом случае будут неограничены.

Укажем, в заключении, что к описанной задаче сводится более общая задача, когда концы не закреплены, но задано их движение

, ,t≥0. (2.65)

А именно, если ф-ция - произвольная ф-ция, удовлетворяющая условиям (2.65)( например, ) , то для получается задача с закрепленными концами.

Наконец, отметим , что все описанные выше задачи корректны, что видно из их явных решений.

73. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Тепловой потенциал

Функция является фундаментальным решением оператора теплопроводности. Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при t<0, бесконечно дифференцируема при (x,t)(0,0) и локально интегрируема в . Также

, t>0; (1)

в , t (2)

Пусть обобщенная функция обращается в нуль при t<0. Обобщенная функция V=*f, где -фундаментальное решение оператора теплопроводности, называется тепловым потенциалом с плотностью f.

Если тепловой потенциал V существует в , тогда она удовлетворяет уравнению теплопроводности (3)

Можно выделить еще один класс плотностей f, для которых тепловой потенциал существует. Пусть М-класс функций, обращающихся в ноль при t<0 и ограниченных в каждой полосе 0.

ТЕОРЕМА. Если f € М, mo теплоѳой потепциал V с плотностъю f существует в классе М. и выражается формулой

(4)

Потенциал V удовлетворяет оценке , (5)

И начальному условию (6)

Если же функция и все производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе, то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функции и f локально интегрируемы в , то их свертка

Существует и локально интегрируема в . Проверим, что это условие выполнено. Так как h=0 при t<0. Это следует из равенства (1):

(7) Таким образом тепловой потенциал V= представляется формулой (4). Так как , то этот потенциал обращается в нуль при t<0 и в силу (7) удовлетворяет оценке (5). Это значит, что . Из оценки (5) следует, что V удовлетворяет начальному условию (6).

Совершая в формуле (4) замену переменных интегрирования , представим ее в виде (4’)

Пусть функция и все ес производные до второго порядка включительно содержатся в классе М. Тогда, пользуясь теоремами о непрерывности и дифференцируемости интегралов, зависящих от параметра, из формулы (4') и из равенства

Выводим, что функция непрерывны при t>=0, а функция непрерывна при t>0. Теорема доказана.

Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой потенциал с плотностью f = называется поверхностным тепловым потенциалом,

Если финитна в , то поверхностный тепловой потенциал заведомо существует в . Следующая теорема описывает важный класс тепловых потенциалов и его свойства.

Теорема. Если -ограниченная в , то поверхностный тепловой потенциал существует в М, принадлежит классу , представляется интегралом Пуассона

(8)

И удовлетворяет неравенству (9)

Если к тому же функция непрерывна в , то потенциал принадлежит C(t>=0) и удовлетворяет начальному условию (10)

Док-во: Так как функция

Обращается в нуль при t<0, а при t>0 в силу (1) удовлетворяет оценке (9):

То эта функция локально интегрируема в . Следовательно поверхностный2 тепловой потенциал представляется формулой (8):

(8’)

Обращается в нуль при t<0 и в силу неравенства удовлетворяет оценке (9). Значит, .

Далее из формулы (8) следует, что . Пусть теперь -непрерывная ограниченная функция в . Докажем, что потенциал принадлежит C(t>=0) и удовлетворяет условию (10).

Пусть (x,t)- произвольное число. В силу непрерывности существует такое число , что при Поэтому, если , так что то в силу (1) и (8’) при t>0 имеет

(11)

Второе слагаемое в (11) также можно сделать < за счет t 0, так что при некотором _ч.т.д

Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности. Схема решения задачи Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравне-ния, применяется и для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

(12) (13)

Считаем и Предположим, что сущсствует классическое решение и(х,t) этой задачи. Это значит, что удовлетворяет уравнению (12) при t > 0 и началъному условию (13) при t —> +0.

Продолжал функции и и f нулем при t< 0, заключаем, что продолженные функции и и f удовлетворяют уравнению теплопроводности (14)

Равенство (14) показываст, что начальное возмущение для функции (x,t) играет роль мгновенно действующего источника (типа простого слоя на шюскости t = 0) и классичсскис решения задачи Коши (12), (13) содержатся среди тех решений уравнения (14), которые обрашаются в нуль при t < 0. Это дает основание ввести следующее обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником назовем задачу о нахождении обобщенной функции , обрашаюшейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей уравнению теплопроводности

(15)

Уравнение (15) эквивалентно следующему: для любой основной функции справедливо равенство (15’)

Из уравнения (15) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи является обращение в нуль F при t<0.

Решение задачи Коши.

Теорема. Пусть - ограниченная функция в . Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует и единственно в классе М и представляется формулой Пуассона(16):

Решение непрерывно зависит от f и в следующем смысле: если

То соответствующие решения u и в любой полосе удовлетворяют оценке

(17)

Если к тому же все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу М u , то решение u(х , t) классичсское.

Док-во: В силу условий теоремы свертка с правой частью F уравнения (15) сушествует в М и представляется в виде суммы (16) двух тепловых потенциалов V и , и эти потенциалы выражаются формулами (4) и (8) соответственно. Таким образом, формула (16) дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности, и это решение единственно в классе М. Непрерывная зависимость решения и от данных задачи f и вытекает из оценок (5) и (9).Если функции f и удовлстворяют дополнительным условия гладкости, прнведенным в теореме, то построенное обобщенное решение u принадлежит и удовлетворяет начальному условию (13). По лемме u(x,t) удовлетворяет уравнению (12) в области t>0. Поэтому u-классическое решение задачи Коши (12), (13). Теорема доказана.

74

11