госы2013(2часть) / shpory / шпоры / ChM2
.docЧисленные методы
96.Квадратурные формулы интерполяционного вида.
Т.к. зн-ия ф-ий нах-ся лишь приближенно, использование точной ф-лы I=F(b)-F(a) приводит к приближенному рез-ту, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо пец. Приближенной ф-лы на основе зн-ий подынтегральной ф-ции f(x). Такие спец. приближенные интегральные ф-лы наз-ют квадратурными ф-ми или ф-ми численного интегрирования
Квадратурные ф-лы прямоугольников.
. Простые квадратурные
ф-лы м-но вывести из опр-я интеграла,
т.е. из представления I=
произвольная
т-ка элементарного промежутка [
].Это
приближенное рав-во наз-ем общей ф-ой
прямоугольников(площадь криволинейной
трапеции приближенно зам-ся площадью
ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников, основаниями которых
служат отрезки [
],
а высотами – ординаты f(
)
h=(b-a)/n,полагая,что
.
При таком разбиении ф-ла приобретает
вид:
(*). Рассмотрим три случая
-
положим
=
.
То из (*)
=>
-
=
,
то из (*) =>
-
и 2) наз-ся квадратурными ф-ми левых и правых прямоугольников.
-
Фиксируем
=1/2*(
+
)
(=
+h/2=
-h/2).
– формула 3) наз-ся квадратурной формулой
средних прямоугольников или формулой
средней точки.
Погрешность:
R(h)=
(**(
Как видно из ф-лы (**) при увелич-ии числа n элементарных отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования [a,b], ошибка численного интегрирования по ф-ле средней точки убывает пропорционально квадрату шага h. Нетрудно убедиться, что погрешность численного интегрирования непрерывно дифференцируемой ф-ции по ф-ам левых и правых прямоугольников, бывает лишь по линейному закону.
Метод Ньютона-Котеса и его сем-во
P(x)-весовая ф-ия, р(х)=1
,
,
Частный случай (их также называют семействами квадратурных формул Ньютона-Котеса):
1)ф-ла прямоугольников
При n=1,d1=0,
И имеет квадратурную ф-лу:
2)ф-ла трапеций
Пусть n=2,d1=-1,d2=1,то
Получим ф.трапеций:
Так как ф-ия f(x)
может быть единственным образом
представлена в виде f(x)=
-
интерполяционный многочлен Лагранжа,
-остаточный
член.
Погрешность: r
= -
,
3)ф-ла Симпсона
При n=4,d1=-1,d2=d4=0,d3=1
Погрешность:
R=-
Оценка погрешности.
Рассмотрим
точна для всех многочленов степени
(n-1).
Пусть
-класс
функций n-1
раз непрерывно-дифференцируемых с
кусочно-непрерывной производной
,
удовл. усл.
.
Нужно добиться
.
Выражение погрешности
(воспользовались
формулой Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме. ) Возьмём для
определенности с=а, производя перестановку
переменных интегрирования х и у в первом
интеграле, получим
,
отсюда следует
По методу Гаусса вычисление определенного интеграла наиболее точнее, чем по методу неопред-х коэф-ов и Ньютона-Котеса, т.к. в методе Гаусса исп-ся (нули ортогонального мн-на) многочлены ст-ни 2n-1.
Метод Гаусса
Видим, что с ф. Ньютона-Котесса одинаковы, но отличие в том, что узлы не заданы.
Квадратура Гаусса исп-ся при заданном числе n-узлов и эта квадратура точна для многочленов наиболее высокой степени. Для практического применения ф.Гаусса необходимо иметь в распоряжении узлы и коэф-ты этих квадратур.
Узлы берем как нули ортогонального мн-на (в лабор. работах брали узлы Чебышева). По методу Гаусса вычисление определенного интеграла наиболее точнее, чем по методу неопред-х коэф-ов и Ньютона-Котеса, т.к. в методе Гаусса исп-ся (нули ортогонального мн-на) многочлены ст-ни 2n-1.
Погрешность:
,
Повышение точности выч-я интегралов.
1)за счёт повышения порядка точности квадратур (т.е. повышение степени полиномов, для которых квадратуры точны)
2)за счет разбиения отрезка на равные части
3)за сведения интегралов от ф-ий с “особенностями” к интегралам от более гладких функций.
Метод неопределенных коэф-ов
,
-узлы,
R(f)-погрешность
при f=
отсюда следует R(f)=
Нашей задачей явл.
Не только нахождение коэф-ов
,
но нужно добиться выполнение рав-ва:
R(1)=0,…,R(x
)=0
(1)
находим из системы (1).