87. Проверка статистических гипотез. Примеры гипотез.

Статистическая гипотеза. Основные понятия.

Под статистическими гипотезами понимается предположения о неизвестном законе распределения или неизвестных параметрах известных законах распределения.

К примерам статистических гипотез можно отнести:

1) Генеральный признак Х имеет нормальный закон распределения.

2) Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины = 5.

3) Дисперсия двух биномиально распределенных признаков равны между собой.

Выдвинутую гипотезу, которую необходимо принять или отвергнуть называют нулевой или основной гипотезой. Обозначают . В предыдущих примерах:

1) -Х имеет нормальный закон распределения

2) : а=5

3) : Д(х)=Д(у)

Вместе с выдвинутой гипотезой всегда рассматривается противоречащая гипотеза, которая называется конкурирующей и обозначается .

В предыдущих примерах:

1) -Х имеет другое распределение

2) : а не=5 или а>5

3) : Д(х) не=Д(у)

Гипотезы бывают:

- простая содержит 1 элементарное предположение :

- сложная – более 1 предположения:

Для проверки любой статист гипотезы рассм-ся нек-я СВ, закон распределения к-й заранее известен и эту СВ наз-ют критерием проверки гипотезы. k- критерий. Все значения критерия делят числ прямую на 2 области: 1)область применения, 2)критическая область. Область принятия гипотезы наз-ся все зн-я критерия, при к-х нулевая гипотеза принимается. Критич область-множ-во знач-й критерия, при к-х нулевая гипотеза отвергается.

Сущ-ет 3 вида критич областей: 1)правосторонняя критич область, к-я задается нер-вом , 2)левосторонняя крит область, 3)двусторонняя крит область. Критическими точками наз-ся знач-я критерияk, разделяющая критич обл и обл принятия гипотезы. Суть метода проверки любой статистич гипотезы состоит в том, чтобы определить знач-е критерия и проверить принадлежность знач-я к критич области. Если крит обл- отвергается. Есликрит обл- принимается. При проверке любой гипотезы расс-ся нек-й уровень значимости, под к-м понимается небольшая вероятность попадания Х к крит обл. Для правосторонней крит обл 3 уровня знач-я, для левострон крит обл, для двусторонней крит обл выдвигают 2 требования. Т.е. любая гипотеза проверяется любым заданным уровнем значимости, если-маленькая вероятность попадания критерия в в крит обл, то 1-- это большая вер-ть попадания критерия обл принятия гипотезы.

Гипотеза о равенстве дисперсии 2-х нормально распределенных признаков.

Рассмотрим 2 генер призанка Х и У, имеющих норм законы распределения и выдвинем гипотезу о рав-ве дисперсии этих признаков . Такая гипотеза обычно выдвигается при проверке вычислений 2 методами или точности самих методов. В качестве критерия рассмотрим СВF равная отношению исправленных выборочных дисперсий этих признаков. , где–исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке с большим объемом.м-т соответ-ет Х или У. Пусть генер сов-ти Х сделана выборка

				…
				…

Также из У:

				…
				…

Известно, что по данным выборок м-о определить исправленной выбор дисперсии ии большая из этих знач-й.

Критерий F содержит испр выб дисп т к именно они явл-ся точечными оценками генер дисперсией, т.е , поэтому нулевую гипотезу иногда записывают в виде:или.

Критерий F имеет закон распределения Фишера-Снедекора со степенями свободы и, где,, причемсоот-ет той выборке, у к-й большаясоот-ет. Для распределения Фишера-Снедекора сущ-ет спец табл значений при заданном уровне значения. Выбор критич обл зависит от вида конкурирующей гипотезы. В связи с выбором конкурирующей гипотезы сущ-ет 2 правила проверки гипотезы:

1. Пусть нулевой гипотезывыдвигается конкурирующая гипотеза. В этом случае строится правосторонняя крит обл исходя из исследованиявер-ть попадания крит обл очень мала. Справедливо правило для того, чтобы при задан уровне знач-япроверитьпринеобходимо: 1) вычислить наблюдаемое знач-е критерия по формуле; 2) найти крит точку из табл распр-я Фишера-Снедекора при заданном уровне знач-яи степенях свободыи,; 3)Если, то-принимается, если, то-отвергается.

2. Пусть нулевой гипотезы ставится конкурирующая гипотеза, то в этом случае строится двусторонняя крит обл, причем для распр-я Фишера-Снедекора крит точки расположены симметрично отн-но начала координат, тогда если уровень значимости- это маленькая вер-ть попасть в крит обл, то достаточно рассм-ть одну крит точку для симметрич. Если вер-ть попасть в двустороннюю обл=, то вер-ть попасть в правую обл=/2. Справедливо след правило: для того, чтобы при уровне значимостипроверитьпринеобходимо: 1) вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле ; 2) найти крит точку из табл распред-я Фишера-Снедекора при уровне/2 :; 3) сделаем вывод:- принимается,- отвергается.