82 Независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.

Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

Доказательство.

1. Необходимость. Если X и Y — независимые случайные величины, то события X <х и Y <у независимы. Значит, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей:

или

2. Достаточность. Допустим,.

Тогда

Это означает, что вероятность совмещения событий X< х и Y< у равна произведению вероятностей этих событий. Таким образом, случайные величины X и Y являются независимыми.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Yбыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

Доказательство.

1. Необходимость. Допустим, X и Y являются независимыми непрерывными случайными величинами (на основании предыдущей теоремы), т. е.

Продифференцируем это равенство по х, а потом по у. В результате получим:

или по определению плотностей распределения двухмерной и одномерной величин можно записать:

2. Достаточность. Предположим, что

тогда, интегрируя это равенство по х и по у, получим:

или

Тогда, на основании предыдущей теоремы, можно сделать вывод, что X и Y независимы.

Замечание. Поскольку приведенные выше условия являются необходимыми и достаточными, то можно записать следующие определения независимых случайных величин:

1) две случайные величины называются независимыми, если функция распределения системы этих величин равняется произведению функций распределения составляющих;

2) две непрерывные случайные величины называются независимыми, если плотность совместного распределения системы этих величин равна произведению плотностей распределения составляющих.

Коэффициент корреляции.

Чтобы описать систему двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, применяют и другие характеристики, к которым относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент случайных величин X и Y — это математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Чтобы найти корреляционный момент дискретных величин, используют следующую формулу:

а для непрерывных величин применяют другую формулу:

Корреляционный момент характеризует связь между величинами X и Y. При этом он равен нулю, если X и Y зависимы. Таким образом, если корреляционный момент равен нулю, то X и Y являются зависимыми случайными величинами.

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y— это отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: