18. Производные функции по направлению, градиент.

Пусть функция трех переменныхизадана в некоторой окрестности точки. Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным векторома с координатами (из аналитической геометрии известно, что если единичный вектора составляет с осями координат углы , то координаты этого вектора равны). Проведем через точкуось , направление которой совпадает с направлением вектора а, возьмем на этой оси произвольную точку и обозначим черезвеличину направленного отрезкауказанной оси.

Величиной направленного отрезка оси называется число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление этого отрезка противоположно направлению оси .

Из аналитической геометрии известно, что координаты ,точкиопределяются равенствами

, ,.(1)

На указанной оси функция , очевидно, является сложной функцией одной переменной величины.Если эта функция имеет в точке =0производную по переменной ,то эта производная называется переменной по направлению от функции в точке и обозначается символом . В случае дифференцируемости функции в точкепроизводная может быть вычислена по формуле

,

в которой аргумент нужно заменить на. Таким образом,

.

Так как , то из последней формулы находим

. (2)

Опр. Напомним, что приращением (или полным приращением) функции в точке, соответствующим приращениямаргументов, называется выражение

.

Функция называетсядифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (3)

где - некоторые не зависящие отчисла, а- бесконечно малые прифункции, равные нулю при.

Соотношение (3) называется условием дифференцируемости функции в данной точке . Условие (3) дифференцируемости функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую прифункцию, и отметим, что эта функция обращается в нуль лишь при. Убедимся теперь, что входящая в правую часть соотношения (3) суммапредставляет собой бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с. Иными словами, убедимся, что эта сумма представляет собой выражение. В самом деле, при0 справедливо, и поэтому. Из (3) следует, что.

Опр. Дифференциалом дифференцируемой в точкефункцииназывается главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке. Если все коэффициентыв представлении (3) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциалфункции в точкесчитается равным нулю.

Таким образом, дифференциал дифференцируемой в точкефункцииназывается выражение

. (4)

Мы можем, очевидно, переписать выражение (4) для дифференциала следующим образом:

(5)

Введем понятие дифференциала независимой переменной . Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое (не зависящее от ) число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращениюнезависимой переменной . Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (4) в виде

(6)

Введем понятие градиента дифференцируемой в точке функции.

Градиентом функции в точкеназывается вектор, обозначаемый символоми имеющий координаты, соответственно равные производным, взятым в точке. Таким образом,

. (7)

Используя понятие градиента функции и учитывая, что вектор a, определяющий направление оси , имеет координаты, представим выражение (2) для производнойпо направлению в виде скалярного произведения векторов иа:

. (8)

Покажем, что градиент функции в точкехарактеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке. Именно, убедимся, что производная функциив точкепо направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению в точке, а значение указанной производной равно, т.е. длине вектора.

Перепишем формулу (8) в виде ,

где – угол между векторамиа и . Так как, то.

Из последней формулы вытекает, что максимальное значение производной по направлению будет при, т.е. когда направление вектораа совпадает с направлением , при этом.

Замечание. В случае функции двух переменныхиединичный вектора, определяющий направление в точке , имеет координатыи. Поэтому в указанном случае формула (2) принимает вид

.

Отметим, что в случае функции двух переменных градиент дифференцируемой функции определяется как вектор, имеющий координатыи. Формула (8), очевидно, справедлива и в случае двух переменных. Для функцииm переменных производная по направлению и градиент определяется аналогично. Имеем, производнаяв точкепо направлению , которое задается единичным вектором , определяется как производная по сложной функции , где. В случае, если- дифференцируемая функция, для производной по направлению имеет место формула

.

Градиентом функции в данной точке называется вектор, обозначаемый символоми имеющий координаты, причем указанные производные берутся в т.. Для производной по направлению дифференцируемой функциисправедлива формула (8).