34. Функции комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.

Комплексным числом z называется выражение вида , гдеx и y – любые действительные числа, а i – мнимая единица, удовлетворяющая условию . Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются .

Комплексное число называетсясопряженным комплексному числу .

Комплексные числа иcчитаются равными тогда и только тогда, когда ,.

Суммой двух комплексных чиселиназывается комплексное число.

Разностью двух комплексных чиселиназывается комплексное число.

Произведением двух комплексных чиселиназывается комплексное число.

Частным от деления комплексного числа на комплексное числоназывается такое комплексное числоz, которое удовлетворяет уравнению , т.е. .

Говорят, что на множестве задана функция , если задан закон, по которому каждой точкеставится в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений.

Пусть и. Тогда задание функции комплексного переменногоравносильно заданию двух функций действительных переменных,.

Пример 1.

Найти действительную и мнимую части функции .

Решение.

Полагая ,, получим

.

Следовательно, - действительная часть,

- мнимая часть функции .

Пример 2.

В какую кривую отображается окружность с помощью функции.

Решение.

Зададим окружность с помощью полярных координат: ,. Тогда, , т.е.,. Значит, образом окружностив плоскостиz будет окружность в плоскостиw, проходимая дважды.

Элементарные функции комплексного переменного.

1. Дробно-рациональная функция

.

2. Показательная функция комплексного переменного задается формулой:

.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1. , где и- любые комплексные числа;

2. , т.е показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом .

2. Тригонометрические функции и определяются формулами:

, .

Функции и- периодические с действительным периодоми имеют только действительные нули

и , соответственно.

Функции иопределяются равенствами :

, .

Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.

2. Гиперболические функции ,,,определяются равенствами:

, ,,.

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

, ,,,

, ,,.

2. Логарифмическая функция , , определяется как функция, обратная к показательной, причем

, .

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то , которое получается при и обозначается

.

Очевидно,

,.

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

,

.

2. Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные соответственно к функциям . Так , если , то называется арксинусом числа и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические:

,

,

,

.

Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

2. Общая степенная функция ,где - любое комплексное число, определяется соотношением

.

Эта функция многозначная, ее главное значение .

2. Общая показательная функция , где - любое комплексное число, определяется равенством

.

Главное значение этой функции .

Пример 1.

Найти значение модуля функции в точке.

Решение.

Так как ,то

.

Тогда

=.

Полагая , найдем

.

Как видим, тригонометрическая функция комплексного переменного может принимает значения, по модулю большие единицы.

32