23.Определенный интеграл Римана, сумма Дарбу, критерий интегрируемости. Простейшие свойства интеграла Римана. Интегральные суммы. Интегрируемость.

Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b],a<b.Обозначим символом Т разбиение сегмента [a,b] при помощи некоторых не совпадающих друг с другом точек наn частичных сегментов [], [] , … [].Точкибудем называть точками разбиения Т.Пусть ξ-произвольная точка частичного сегмента, а-разностькоторую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.

Определение 1: Число I {}, где

I {} =f () +

Называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек ξна частичных сегментах [].В дальнейшем черезмы будем обозначатьдлину максимального частичного сегмента разбиения Т ,т.е. =мах.

Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Для этого рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, ограниченную графиком функции f(x) (для простоты будем считать эту функцию положительной и непрерывной), двумя ординатами, проведенными в точках a и b оси абсцисс (рис 10.1).Очевидно, интегральная сумма I {} представляет собой площадь ступенчатой фигуры, заштрихованной на рис.10.1.

Определение 2:Число I назыв. пределом интегральных сумм I {} при →0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ (зависит от ε ), что для любого разбиения Т сегмента [a,b] максимальная длина частичных сегментов которого меньше δ, независимо от выбора точек ξна сегментахвыполняется неравенство

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется символика

I=

Определение 3:Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на сегменте [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при →0.Указанный пределI называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается следующим образом:

Наглядные геометрические представления показывают, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемый графиком функции f(x) на сегменте [a,b].

Приведем пример интегрируемой функции. Докажем, что функция f(x)=с=const интегрируема на любом сегменте [a,b], причем .

В самом деле, так как f(ξ)=c при любых ξ ,то

и поэтому

§2.Верхние и нижние суммы.

1.Понятие верхней и нижней суммы. Пусть ф-ция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т-разбиение этого сегмента точками.Обозначим черезисоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой ф-ции на сегменте.Суммы

и

называется соответственно верхней и нижней суммами ф-ции f(x) для данного разбиения Т сегмента [a,b].

Очевидно, что любая интегральная сумма I{} данного разбиения Т сегмента[a,b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

Понятия верхней и нижней сумм становится особенно ясными, если обратится к геометр. представлениям. Для простоты рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (рис.10.2 и 10.3). Если Т- некоторое разбиение сегмента [a,b], то числа ипредставляет собой в случае непрерывной функцииf(x) максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте разбиения Т .Поэтому верхняя суммаS равна площади, заштрихованной на рис.10.2 ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма s равна площади, заштрихованной на рис.10.3 ступенчатой фигуры, которая содержится криволинейной трапеции.

2. Свойства верхних и нижних сумм. Докажем справедливость следующих свойств верхних и нижних сумм:

1.Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ξ на сегментахможно выбрать так, что интегральная суммаI{} будет удовлетворять неравенствам 0≤S- I{}< ε .Точки ξ можно выбрать также и таким образом , что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0≤I{}-s< ε .

Пусть Т – некоторое фиксированное разбиение сегмента [a,b]. Докажем, например, возможность выбора по данному ε>0 точек ξ так, что будет выполняться неравенство 0≤S- I{}< ε.По определению точной грани для данного ε>0 на сегменте можно указать такую точку ξ ,что 0≤-f(ξ )< ε/(b-a), i=1,2,3,…,n.

Умножая эти неравенства на и затем их складывая, получим 0≤S- I{}< ε.

Справедливость свойства установлена.

2.Если разбиение Т’ сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента , то верхняя сумма S’ разбиения Т’ не больше верхней суммы S разбиения Т , а нижняя сумма s’ разбиения Т’ не меньше нижней суммы s разбиения Т, т.е.

s ≤ s’, S’ ≤ S

3.Пусть Т’ иT’’ “ T " Ттельство для нижних и верхних сумм проводится аналогично.

вляется одна точка.очек мма м - любые два разбиения сегмента [a,b].Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s’, S’ и s’’, S’’ - соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т’ и Т’’ , то s ’ ≤ S ’’, s ’’ ≤ S’.

4.Множество {S} верхних сумм данной ф-ции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

Любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной нижней суммы, следовательно, мн-во {S} верхних сумм ограничено снизу. Любая нижняя сумма не превосходит какую-либо верхнюю сумму, и поэтому мн-во {s} нижних сумм ограничено сверху. Обозначим через I точную нижнюю грань мн-ва {S} верхних сумм, а через I- точную верхнюю грань мн-ва нижних сумм: I=inf{S}, I=sup{s}.

Числа I и I называются соответственно верхним и нижним интегралом Дарбу от ф-ции f(x). Докажем, что ≤I . Пусть >I. Тогда разность I-I есть положительное число , которое мы обозначим через ε , так что I-I= ε >0 .Из определения точных граней I и I вытекает , что существуют числа S’ и s’’ , представляющие собой соответственно верхнюю и нижнюю суммы некоторых разбиений Т’ и Т’’ сегмента [a,b], такие, что I+ ε/2>S’ и - ε/2<s’’.Вычитая второе неравенство из первого и учитывая , что I- = ε, получимs’’>S’.Но это последнее неравенство противоречит св-ву 3 верхних и нижних сумм.

5.Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу иот ф-цииf(x) по сегменту [a,b] является соответственно пределами верхних и нижних сумм при ∆0.

Доказательство Докажем например что

Для случая M=m, т.е. для случая f(x)=c=const, лемма очевидна, поскольку S=I==s. Будем поэтому считать, что M>m. Так как I- точная нижняя грань множества верхних сумм , то для любого данного ε>0 можно указать такое разбиение Т * сегмента[a,b] , что верхняя сумма S* этого разбиения будет отличаться от I меньше чем на ε/2: S*-I< ε/2 (10.1)

Обозначим p число точек разбиения Т* , лежащих строго внутри сегмента [a,b]. Пусть Т- любое разбиение сегмента [a,b], максимальная длина ∆ частичных сегментов которого подчинена условию

∆<δ= (10.2)

и S – верхняя сумма этого разбиения. Добавим к этому разбиению внутренние точки разбиения Т*. В результате мы получим разбиение Т’, верхняя сумма S’ которого в силу св-ва 5 и условия (10.2) для ∆ удовлетворяет неравенству 0≤S-S’≤(M-m)p∆<ε/2 (10.3)

С другой стороны, это разбиение Т’ можно рассматривать как разбиение , полученное в результате добавления к разбиению Т* внутренних точек разбиения Т. Поэтому , в силу св-ва 2, ≤S’≤S*.

Отсюда следует , что 0≤S’-≤S*-I, т.е. согласно неравенству (10.1)

0≤S’-I<ε/2

Складывая это неравенство с неравенством (10.3), получим

0≤S-<ε (10.4)

Таким образом , мы установили , что для любого данного ε>0 можно указать такое δ>0 (можно , например, положить δ= ), что верхние суммы S разбиений Т сегмента [a,b], для которых максимальная длина ∆ частичных сегментов меньше δ, удовлетворяют неравенству (10.4). Но это означает , что верхний интеграл I Дарбу является пределом верхних сумм. Для нижних сумм док-во аналогично. Лемма Дарбу доказана.