21. Условный экстремум.

Задачи об отыскании экстремумов ф-ции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи-экстремумы такого рода будем наз-ть условными.

Пусть тр-ся найти экс-мум ф-ции u=при условии, что аргументы этой ф-ции уовлетворяют условию связи х+у-1=0. Таким образом, экстремумы ф-цииu=ищутся не на всей плоскости Оху, а лишь на прямой х+у-1=0. Для решения подставим в ур-ие ф-ции u=зн-ие у, определяемое из условия связи х+у-1=0. Таким путём мы сведём поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума ф-цииu=2

Последний экстремум нах-ся без труда : так как то ф-ияu=2с условием связи х+у-1=0 имеет условный минимумu=1/2 в точке (1/2,1/2). Отметим, что безусловный минимум ф-ции u=достигается в точке (0;0) и равенu=0. (графиком явл парабалоид вращения) на всей плоскости с ее минимумом на прямой х+у-1=0.

Прейдем к общей постановке задачи об отыскании условного экстремума. Пусть треб-ся найти экстремум ф-ции m+n переменных

U=f((40)

При наличии m условий связи

(41)

Функция при наличии связей (41) имеет условный максимум (минимум ) в точке ), координаты которой удовлетворяют условиям связи (41), если найдётся такая окр-ть точки, в пределах которой зн-ие ф-ции (40) в точкеявл. наибольшим (наименьшим ) среди ее зн-ий во всех точках, координаты которых удовлетворяю условиям связи (41).

22. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производная неявной функции.

Часто переменная u, явл. по смыслу задачи функцией аргументов x,y,…,задается посредством функционального ур-я F(u,x,y,…)=0 (15.1)

В этом сл. гов., что u как функция аргументов x,y,.. задана неявна . Например, функ. U=-,рассматривая в круге , м/б неявно задана с пом. функцион-го Ур-я

F(u,x,y,…)=(15.2)

Возникает вопрос: при каких усл. Ур-е (15.1) однозначно разрешимо отн-но u, т.е однозначно определяет явную функцию u=и при каких усл. Эта функция явл.Непрерывной и дифференцируемой.

(Обозначения: через R б/т пространство переменных (u,x,y,…), а пр-во переменных (x,y,…) символом R’)

Теорема о существовании и диф-ти неявной функции.

Пусть функция F(u,x,y) диф-ма в некоторой окрестности точки пр-ваR, причём частная производная dF/du непрерывна в точке. Тогда если в точкефункцияFобращается в нуль, а частная производная dF/du не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа найдется такая окр-ть точкипр-ваR’ , что в пределах этой окр-ти сущ-ет единственная ф-ия которая удовл-ет усл.и явл. решением ур-я

F(u,x,y,…)=0 (15.3)

Причём эта функциянепрерывна и диф-ма в указанной окр-ти точки.

Замечание.В усл. Теоремы можно опустить требование непрерывности частной производной dF/du в точке , но тогда придётся потребовать, чтобы эта производная не обращалась к нулю не только в самой точке, но и в некоторой окр-ти этой самой точки и сохраняла определенный знак в этой окр-ти.

Вычисление частных производных неявно заданной ф-ции.

F(u,x,y,…)=0, пусть выполнены все усл. Теоремы , частные производные ф-ции определяются ф-ми

Du/dx=-(dF/dx)/(dF/du), du/dy=-(dF/dy)/(dF/du). (15.11)

(а если не от 2, а от более аргументов, то du/d=) (k=1,2,…….м)

Если нужно найти частне произв. 2-го порядка, то нужно добавить усл. дифференц-ти дважды.

Пример. Вфчислить частную произв. ф-ции ,заданной использую ф-лу (15.11), получим du/dx=-(x/u), du/dy=-(y/u).

=D(du/dx)|Dy=D(-(x/u))/Dy=x * du/dy| =-(xy)/

Условия, обеспечивающие сущ-ие для ф-ции y=f(x) обратной ф-ции.

Применим теорему для выяснения условий, при выполнении которых y=f(x) имеет в некоторой окр-ти точки x0 обратную ф-ю x=(y), определенную в некоторойокр-ти точки y0, где y0=f(x0). Будем рассматривать y=f(x) как ф-ю, определяемую уравнением вида F(x,y)=f(x)-y=0. То вопрос о сущ-ии обр. ф-ии совпадает с вопросом о разрешимости относительно х указанного функционального уравнения. Если ф-ция y=f(x) имеет отличную от нуля производную в некоторой окр-ти точки х0, то для этой ф-ции в окр-ти х0 существует обратная ф-я x=(y), определенная и дифференцируемая в некоторой окр-ти точки у0, где у0=f(x0). Производная указанной обр. ф-ции в точке у0 в силу второй из формул (15.11) равна 1/f’(x0).

Неявные ф-ции, определяемые системой функциональных Ур-ий.

Предположим, что m-функций

(13)

ищутся как решение системы m функциональных Ур-ий

(14)

Это решение будем наз-ть непрерывным и дифференцируемым в некоторой области D изменения переменных , если каждая из ф-ций (13) непрерывна и диф-ма в областиD. (символом R будет пространство (m+n) переменных , а сисмволомR’ пространство n переменных )

Рассмотрим m функций стоящих в левых частях системы (14), и составим из частных производных этих ф-ий следующий определитель:

(15)(15)- определитель Якоби. (или якобианом ) ф-ции по переменными кратко обозначать символом

.

Теорема Пусть m функций дифференцируемы в некоторой окр-ти точки) пространстваR, причем частные производные этих ф-ий по перевменным непрерывны в точке . Тогда, если в точкевсе ф-ции (16) обращаются в нуль, а якобиан отличен от нуля, то для достаточно малых положительных чиселнайдется такая окр-ть точки пространстваR’, что в пределах этой окр-ти сущ-ют единственные m функций (13), которые удовлетворяют условиям и явл-ся решением системы Ур-ий (14), причём это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окр-ти точки’.

Зависимость ф-ий. Пусть m функций от одних и тех же n переменных

(28) Определены и диф-мы в некоторой открытой n-мерной области D.

Одна из этих ф-ий, например, , зависит в областиD от остальных ф-ций, если сразу для всех точек в областиD (29), где Ф-некоторая ф-ия, определенная и диф-ая в соответствующей области изменения своих аргументов. Ф-ции будем наз-ть зависимыми в областиD, если одна из этих функций зависит в области D , еслиодна из этих ф-ций зависит в области D от остальных.

Пример

Зависимы в любой области D четырехмерного пр-ва, ибо для всех точек () этой области

Теорема Пусть mфункций от nпеременных

Определены и дифференцируемы в окр-ти точки ). Тогда если якобиан из этих ф-ций по каим-ибоm переменным отличен от нуля в точке , то эти ф-ции независимы в некоторой окр-ти точки.

Пример.Две ф-ции независимы в окр-ти любой точки М(х,у) так как якобиан=-2не равен нулю всюду.