Примеры исследования функции на экстремум.

1. Найти точки локального экстремума функции переменных

, (34)

где – отличное от нуля вещественное число.

Для отыскания точек возможного экстремума получаем следующие уравнения:

. (35)

Из уравнений (35) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума является точка (0, 1, …, -1). Чтобы исследовать функцию (34) в этой точкес помощью достаточных условий экстремума, вычислим второй дифференциал(36)

Очевидно, что при все значения второго дифференциала (36) при, одновременно не равных нулю, являются строго положительными, т.е.второй дифференциал (36) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Поэтому прифункция (34) имеет в точке(0, 1, …, -1) локальный минимум.

При второй дифференциал (36) положителен прии отрицателен при. Это означает, что привторой дифференциал (36) представляет собой знакопеременную квадратичную форму. Поэтому прифункция (34) не имеет в точке(0, 1, …, -1) локального экстремума.

2.На плоскости даны точек, в которых сосредоточены массы.

Требуется найти на этой плоскости точку такую, относительно которой момент инерции указанной системы материальных точек является минимальным.

Так как момент инерции указанной системы материальных точек относительно точки равен,(37)то задача сводится к отысканию точки , в которой функция (37) достигает своего минимального значения.

Для отыскания точек возможного экстремума функции (37) получаем следующие уравнения

, .(38)

Из уравнений (38) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума функции (37) является точка , координаты которой равны

, .(39)

Так как , тофункция (37) имеет локальный минимум в точке, с координатами (39). Легко убедиться, что значениев этой точке является минимальным. Заметим в заключение, что формулы (39) определяют координаты центра тяжести рассматриваемой системы материальных точек.

20. Формула Тейлора для функции одной и многих переменных.

Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эту функцию в указанной окрестности оказывается возможным представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который мал в том или ином смысле.

Теорема1.Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка m включительно в δ-окрестности точки (xо,yo); тогда при ∆х, ∆у таких, что ρ=√∆х²+∆у²< δ, справедлива формула.

∆z=f(xo+∆х,yo+∆у)-f(xo,yo)= +

++

++…+

или короче

, (1)

где , 0<θ<1 (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора (порядка m-1) для функции f, функция - ее остаточным членом, а его запись в виде (2) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

◄Пусть ∆х и ∆у зафиксированы так, что ρ=√∆х²+∆у²< δ ; тогда точки вида , где 0≤t≤1, лежит на отрезке, соединяющем точки (хо,уо) и (хо+ ∆х , уо+∆у), и поэтому все принадлежит δ-окрестности точки (хо,уо) . Поэтому имеет смысл суперпозиции функций z=f(x,y) и x=xo+t∆х, y=yo+∆у, 0≤t≤1, т.е сложная функция F(t)=f, 0≤t≤1 (3)

Очевидно, что ∆z=f(xo+∆х,yo+∆у)-f(хо,уо)=F(1)-F(0) (4)

Поскольку функция имеет в δ-окрестности точки (хо,уо) m непрерывных частных производных, то, согласно теореме о производных сложных функций, функция F имеет на отрезке [0,1] m непрерывных производных, и поютому для нее справедлива формула Тейлора порядка m-1 с остаточным членом в форме Лагранжа:

, 0<θ<1 (5)

Выразим производные через производныеf(x,y) и положим в формуле (5) t=1, получим требуемую формулу Тейлора для функции f(x,y). Действительно, из (3) следует, что =

=Отсюда для, отпуская для кратности обозначения аргументов, получим

Вообще по индукции легко получить, что

(6),

k=1,2,….,m

Полагая в формулах (6) t=0 при k=1,2,…,m-1, получим

,

вообще

, k=1,2,…,m-1 (7)

При k=m , заменяя t на θt, имеем

(8)

Подставим теперь (7) и (8) в (5) и положим t=1, тогда в силу соотношения (4) получим ==

0<θ<1 ►

Следствие. В предложениях теоремы

(9)

где остаточный член может быть записан в каждом из следующих видов

(10),

где ,k=0,1,…,m

или (11)

где , т.е.(12)

(такая запись остаточного члена формулы Тейлора называется его записью в форме Пеано)

Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне совершенно идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, т.к.

, k=0,1,2,…,m,

то полагая для кратности и

Формулу (9) можно записать в следующем виде:

(13)

Эта формула наиболее проста и удобна для запоминания.

Следует отметить, что предположения, при которых нами доказана формула Тейлора, могут быть несколько ослаблены. Для справедливости формулы Тейлора (1) можно лишь потребовать дифференцируемость в δ-окрестности точки (хо,уо) всех производных порядка m-1. Тогда они, очевидно, будут непрерывными, а все частные производные порядка m-2 дифференцируемыми в указанной окрестности и т.д. Т.о., функция f при данном предположении оказывается m-1 раз непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (хо,уо). Из предположения дифференцируемости по правилу дифференцирования сложной функции, если их аргументы, как и в (3) линейно зависят от t. Поэтому приведенное ниже доказательство формулы Тейлора полностью сохраняется и для этого случая.

Формулу (1) можно несколько обобщить и в другом смысле: не требовать, чтобы функция f была определена во всех точках (хо,уо), а рассматривать эту формулу лишь при фиксированных ∆х, ∆у. Именно если функция f определена и имеет дифференцируемые частные производные до порядка m-1 включительно в каждой точке отрезка с концами в точках (хо,уо) и (хо+∆х,уо+∆у), то формула (1) также остается справедливой вместе с доказательством.

Из всего сказанного следует, что если функция f определена в выпуклой области G и имеет в G дифференцируемые частные производные порядка m-1, то для любых двух точек (хо,уо)€G и (хо+∆х,уо+∆у) €G имеет место формула Тейлора (1).

Для справедливости формулы (9), кроме дифференцируемости частных производных порядка m-1 в окрестности точки (хо,уо), достаточно лишь потребовать, чтобы производные порядка m были непрерывны только в точке (хо,уо).

Мы не стали всего этого сразу оговаривать, для простоты формулировок и доказательства теоремы 1 и ее следствия.

Подчеркнем еще, что в формуле (9) не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле предела в точке (хо,уо).

Теорема 1` Если функция n переменных определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядкаm включительно в некоторой окрестности точки, то справедлива формула

=

=, (14)

где ,

0<θ<1, ∆x=(∆x1,…., ∆xn (15)

а также формула

(16)

где можно записать в каждом из следующих видов:

либо (17)

где ,

либо ,(18)

т.е. ,ρ→0

Наконец, через дифференциалы формулу (16) можно записать в следующем виде:

(19)

Раскроем скобки в формулах (14) и (15) , воспользовавшись алгебраической формулой

Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозначения. Положим

, ,

В этих обозначениях формула Тейлора (14) с остаточным членом в виде (15) перепишется в виде:

здесь как всегда ,,

и

В этом виде формула Тейлора для функций любого числа переменных формально выглядит так же, как и для случая функции одного переменного.