26.Основные понятия. Область сходимости.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1) где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

  (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что  Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что  

Доказательство. Пусть числовой ряд

  (1.3) 

сходится. Поэтому  Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что  для всехn=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

  (1.4) 

предполагая, что  Так как  и при этом  то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при   Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2. Для степенного ряда (1.2) возможны только три случая:

1)ряд сходится в единственной точке x=0;

2)ряд сходится при всех значениях x;

3)существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых  и расходится при всех x, для которых  

Определение 1.2. Интервал (-R,R), где число R определено в теореме 1.2, называется интервалом сходимости ряда (1.2), а число R – радиусом сходимости этого ряда.

Понятие радиуса сходимости будет распространяться на все три случая в теореме (3.2): для этого в случае 1 условимся считать R=0, а в случае 2 

На практике радиус сходимости степенного ряда чаще всего определяют с помощью признака сходимости Даламбера. Предположим, что все коэффициенты ряда (1.2) отличны от нуля и существует предел  Тогда радиус сходимости находится по формуле 

Действительно, в силу признака Даламбера ряд

 

сходится, если число

 

меньше 1, и расходится, если этот предел больше 1. Иначе говоря, ряд сходится для всех x таких, что  и расходится при  Это и означает, что число  является радиусом сходимости ряда (1.2).

Пример 1.1. Найти область сходимости ряда

 

  Решение. 

 Следовательно, радиус сходимости есть  Ряд сходится при

–1<x<1 и расходится при В точках x=1 и x=-1 ряд также сходится.

Итак, область сходимости ряда – отрезок 

36 Ряды с комплексными членами.

19.4.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z₁, z₂, z₃, …, z_n, … .Действительную часть числа z_n будем обозначать a_n, мнимую - b_n

(т.е. z_n = a_n + i b_n, n = 1, 2, 3, …).

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда: S₁ = z₁, S₂ = z₁ + z₂, S₃ = z₁ + z₂ + z₃, S₄ = z₁ + z₂ + z₃ + z₄, …,

S_n = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n, …

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; числоS называют суммой ряда и пишут S = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n + … или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:

S_n = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n = (a₁ + i b₁) + (a₂ + i b₂) + (a₃ + i b₃) + … + (a_n + i b_n) = (a₁ + a₂ + a₃ +…+ a_n) +

, где символами иобозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Выпишем несколько значений выражения :дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей:; ряд из мнимых частей; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.