31 Понятие поверхности.

Отображение f области (т.е. мн-во, каждая точка которого явл. внутр.) G на плоскости на мн-во G* трехмерного евклидова пространства наз. гомеоморфным, если это отображение представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками G и G*, при котором любой сходящейся посл-ти точек изG соответствует сходящаяся посл-ть точек изG* и каждой сходящейся посл-ти изG* отвечает сходящаяся посл-ть точек изG. Иными словами, гомеоморфное отображение области G на мн-во G* - это взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение указанных множеств. Будем говорить, что G* явл. образом G при гомеоморфном отображении f.

Множество Ф точек трехмерного пространства наз. элементарной поверхностью, если это множество является образом открытого круга G при гомеоморфном отображении G в пространство.

С пом. понятия элементарной поверхности вводится понятие простой пов-ти.

Введем понятие окрестности точки мн-ва Ф евклидова пр-ва Е³.

Окрестностью точки М мн-ва Ф наз. общая часть мн-ва Ф и пространственной окрестности точки М.

Мн-во Ф точек пр-ва наз. простой поверхностью, если это мн-во связно (т.е. если любые 2 его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком состоящей из точек этого мн-ва) и любая точка этого мн-ва имеет окрестность, кот. явл. элементарной пов-тью.

Отметим, что элементарная поверхность является простой пов-тью, но простая поверхность, вообще говоря, не является элементарной. (Н-р, сфера- простая, но не элементарная).

Отображение f простой поверхности G наз. локально-гомеоморфной, если у каждой точки G есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.

Множество Ф точек пространства наз. общей поверхностью, если оно является образом простой поверхности при локально- гомеоморфном ее отображении в пространство.

Поверхность Ф, точки которой имеют координаты x, y, z, наз. регулярной (k раз диф-мой),если при некотором k≥1 у каждой точки Ф есть окрестность, допускающая k раз диф-мую параметризацию. Это означает, что каждая указанная выше окрестность представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной области G в плоскости (u,v) при помощи соотношений x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), в которых функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются k раз диф-мыми в G.

Если k=1, то поверхность наз. гладкой.

Поверхность Ф наз. полной, если любая фундаментальная последовательность точек этой поверхности сходится к некот. точке пов-ти Ф.

Поверхности, на которых в целом  непрерывное векторное поле нормалей, наз. двусторонней, если в целом такого поля не , поверхность наз. односторонней.

Понятия поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов.

Пусть Ф - гладкая, ограниченная полная двусторонняя поверхность. Пусть на Ф задана функция f(M) точки М поверхности Ф. Обозначим через n(M) непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф.

Разобьем поверхность Ф кусочно - гладкими кривыми на части Ф_i и на каждой такой части выберем произвольную точку М_i. Введем следующие обозначения: ∆-максимальный размер частей Ф_i , σ_i – площадь Ф_i , X_i, Y_i, Z_i – углы, которые составляет с осями координат вектор n(M_i).

Составим следующие 4 суммы:

(1)

(2)

(3)

(4)

Для каждой из этих сумм вводится понятие предела при ∆→0. Сформулируем это понятие для сумм (1). Для сумм (2)-(4) понятие предела формулируется аналогичным образом.

Опр. Число I наз. пределом сумм при ∆→0, если для любого ε>0 можно указать такое δ>0, что для любых разбиений поверхности Ф кусочно –гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, максимальный размер которых ∆ меньше δ, независимо от выбора точек М_i на частях Ф_i выполняется неравенство .

Предел I сумм при ∆→0 наз.поверхностным интегралом 1-го рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается: (5)

Если (x, y, z) – координаты точки М на поверхности Ф, то для f(M) можно использовать обозн. f(x, y, z). В этом случае формулу (5) можно записать в виде (6)

Пределы сумм ,ипри ∆→0 наз.поверхностными интегралами второго рода от функции f(M) по поверхности Ф. Для этих интегралов соответственно используются обозн.

, ,или обозн., аналогичные обозначению (6).

Зам.1. Из опр. поверхностного интеграла 1-го рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или от выбора стороны поверхности.

Зам.2. Поверхностный интеграл 2-го рода зависит от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации векторного поля единичных нормалей на противоположную все три поверхностных интеграла 2-го рода меняют знак на противоположный. Это объясняется тем, что в каждой из сумм (2)-(4) значения f(M_i) и σ_i не меняются при изменении ориентации, а значения косинусов углов, которые составляет нормаль n(M_i) с осями координат, меняют знак на противоположный.

Зам.3. После выбора определенной стороны поверхности поверхностные интегралы 2-го рода могут, очевидно, рассматриваться как поверхностные интегралы 1-го рода по поверхности Ф соответственно от функций f(M)cosZ(M), f(M)cosY(M), f(M)cosX(M). Действительно, после выбора определенной стороны поверхности cosZ, cosY, cosX представляют собой функции точки М поверхности Ф.

Существование поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов.

Выберем на Ф опр. сторону. Согласно зам.3 после выбора опр. стороны поверхности Ф поверхностные интегралы 2-го рода могут рассматриваться как интегралы 1-го рода. Поэтому достаточные условия будем формулировать лишь для интегралов 1-го рода.

Теорема 1. Пусть на поверхности Ф можно ввести единую параметризацию посредством функций x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), (7) заданных в ограниченной замкнутой области Ω плоскости (u,v) и  классу С¹ в этой области. Если функция f(M)=f(x, y, z) непрерывна на поверхности Ф, то поверхностный интеграл 1-го рода от этой функции по поверхности Ф  и может быть вычислен по формуле

(8)

Требуется доказать, что для любого ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого разбиения Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, для которого ∆<δ, независимо от выбора точек M_i на частях Ф_i будет выполняться неравенство

(9)

Пусть ε – любое фиксированное положительное число. Выберем поэтому ε>0 число δ*>0 так, чтобы выполнялись следующие два условия:

1) Для любых двух точек и(u_i, v_i) области Ω, находящихся на расстоянии, меньшем δ*, выполнялось неравенство (10)

где А – положительное число, превосходящее максимум функции |f(M)|, а Р – площадь области Ω;

2) Для любого разбиения Ω кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ω_i, размер которых меньше δ*, и для любого выбора точек (u_i, v_i) в пределах каждой части Ω_i выполнялось неравенство (11)

в котором -площади частей Ω_i.

Возможность нужного выбора δ* гарантируется свойством равномерной непрерывности непрерывной в ограниченной замкнутой области Ω функции и свойством интегрируемости непрерывной в области Ω функции.

Определим по δ*>0 число δ>0 так, чтобы любому разбиению поверхности Ф кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, размеры которых меньше δ, отвечало бы разбиение области Ω на конечное число частей Ω_i, размеры которых меньше δ*. Возможность выбора такого δ гарантируется тем, что поверхность Ф представляет собой гомеоморфное отображение области Ω, и поэтому каждому разбиению Ф кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i отвечает разбиение Ω кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ω_i. При этом, если максимальный размер частей Ф_i стремится к 0, то и максимальный размер частей Ω_i также стремится к 0.

Рассмотрим теперь разбиение Ф кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i , максимальный размер ∆ которых удовлетворяет неравенству ∆<δ, где δ>0 выбрано по δ* указанным выше образом. Составим для этого разбиения сумму , воспользовавшись ее выражением (1). Так как площадьчасти Ф_i равна , то, обозначая координаты точки М_i в части Ф_i через , получим.

Используя теорему о среднем для интегралов (т.е. a≤ξ≤b) в правой части последнего соотношения, мы можем, очевидно, следующим образом преобразовать это соотношение:

Из последнего равенства с помощью неравенств (10) и (11) получим неравенство (9).

Зам.1. Очевидно, для вычисления интеграла 2-го рода после выбора опр. стороны поверхности Ф можно использовать след. формулу:

(12)

Зам.2. Пусть поверхность Ф является графиком функции z=z(x,y), принадлежащей в области D своего задания классу С¹. Выберем на поверхности Ф ту сторону, для которой единичный вектор нормали n(M) поверхности составляет с осью Oz острый угол. В этом случае , гдеp=dz/dx, q=dz/dy. Пусть на поверхности Ф задана непрерывная функция R(x,y,z). Тогда, учитывая, что в качестве параметров u и v на поверхности берутся x и y (поверхность Ф определяется параметрическими уравнениями x=x, y=y, z=z(x,y), и ), мы можем переписать формулу (12) след. образом:

.

Это замечание разъясняет след. обозначение для поверхностного интеграла 2-го рода:

(13)

Отметим, что обозн. (13) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции z=z(x,y).

Будем рассматривать поверхностные интегралы 2-го рода след. вида: . Такие интегралы будем обозначать также след. образом:.

Зам.3. Понятия поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно- гладкой.

Поверхностные интегралы 2-го рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат.

Из опр. поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов следует, что интеграл 1-го рода не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве, тогда как интегралы 2-го рода зависят от ее выбора, ибо при изменении системы координат меняются значения косинусов углов, которые составляет нормаль n(M) с осями координат.

В случае, когда на поверхности задана векторная функция, можно указать более общий подход к понятию поверхностного интеграла 2-го рода, позволяющий в опр. смысле говорить о независимости значения этого интеграла от выбора декартовой системы координат в пространстве.

Итак, пусть на гладкой ограниченной полной двухсторонней поверхности Ф задана непрерывная векторная функция r(M). Выберем на Ф опр. сторону и обозн. через n(M) – векторное поле единичных нормалей к Ф.

Очевидно, скалярное произведение r(M)n(M) представляет собой непрерывную скалярную функцию, заданную на поверхности Ф и поэтому не зависящую от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, поверхностный интеграл 1-го рода от этой функции не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве. Обратимся к координатной записи скалярного произведенияr(M)n(M), считая при этом, что вектор r(M) имеет координаты P,Q,R. Так как координаты вектора n(M) равны cosX, cosY, cosZ, то r(M)n(M)=PcosX+QcosY+RcosZ и поэтому

.

Интеграл в правой части последнего равенства представляет собой сумму трех поверхностных интегралов 2-го рода и обычно называется общим поверхностным интегралом 2-го рода. Следовательно, интеграл

также можно назвать общим поверхностным интегралом 2-го рода.

Зам.1. Если на поверхности Ф заданы три скалярные функции P,Q,R, то интегралу можно придать инвариантный (не зависящий) от системы координат вид, считаяP,Q,R координатами некоторой векторной функции r(M), заданной на поверхности, и записывая этот интеграл в форме .

Зам.2. Отметим, что общий поверхностный интеграл 2-го рода численно равен величине, называемой в физике потоком вектораr(M) через поверхность Ф.