52. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора. Собственные вектора и собственные числа линейных операторов.
Опр.1. Отображением А из линейного пространства L в линейное пространство L΄ называется правило по которому к каждому элементу х из L сопоставляется элемент y из L΄.
Опр.2. Отображение А:L→ L΄ из линейного пространства L в линейное пространство Ľ называется линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия: а) А(х+у)=А(х)+А(у) для любых векторов х,у€ L;
б)А(λх)=λА(х) для любого вектора х€ L и любого числа λ€R
Линейный оператор А:L→L΄, который осуществляет отображение линейного пространства L в себя, называют линейным преобразованием, и говорят что линейный оператор А действует в линейном пространстве L.
Из определения линейности отображения вытекает, что для любого линейного оператора А:L→ L΄ образом А0 нулевого вектора в L является нулевой вектор 0΄ в Ľ: А(0)= 0΄. Действительно, А0=А(0*0)=0(А0)= 0΄.
Для того чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а),б) определения 2.Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное).
Пример 1.
зададим линейное
отображение по правилу Â(х)=Ах, т.е. Ах=
Â:
→
,
Â(х+у)=А
=
=
+
=
=Â(х)+ Â(у)
Â(λх)=А
=λА
=λÂ(х)
Пример 2. Отображение А:R→R n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ах=а+х, где а≠0 – некоторый фиксированный вектор, не является линейным, т.к., например, образом нулевого вектора является вектор а.
Следствие.Любая матрица порядка m×n определяет линейное отображение из L в Ľ.
Опр. 3. Каждому линейному оператору А:L→ L΄ соответствуют:
его ядро kerA- множество тех векторов х € L, для которых Ах= 0΄ , где 0΄- нулевой вектор в L΄;
его образ imA – множество векторов у € L΄, являющихся значениями этого оператора.
Теорема1.Для любого линейного оператора А:L→ L΄его ядро kerA является линейным подпространством в L,а его образ imA- линейным подпространством в L΄.
◄Доказательство сводится к проверке условий определения линейного подпространства. Пусть векторы х1 и х2 принадлежат множеству kerA, т.е. Ах1= 0΄, Ах2= 0΄. Тогда согласно условию а) определения 2,
А(х1+х2)=Ах1+Ах2= 0΄+ 0΄= 0΄,
т.е.вектор х1+х2 принадлежит множеству kerA, а, согласно условию б) того же определения, для любого действительного числа λ
А(λх1)= λ(Ах1)= λ 0΄= 0΄,
т.е. и вектор λх1 принадлежат kerA. Как видим, множество kerA замкнуто относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.
Если векторы у1 и у2 принадлежат множеству imA, то существуют такие векторы х1,х2 € L, что у1=Ах1,у2=Ах2. Но тогда, согласно условию а) определения2,
у1+у2=Ах1+Ах2=А(х1+х2),
т.е. вектор у1+у2 является значением оператора А и, следовательно, принадлежат imA. Аналогично вектор λу1= λ(ах1)=А(λх1) также входит в множество imA для любого λ €R. Приходим к выводу, что и imA является линейным подпространством, но уже в лин. пространстве L΄.►
Размерность ядра и образа – важнейшие характеристики линейного оператора. Число dim(kerA) называют дефектом линейного оператора А, а число dim(imA) – его рангом.
Среди линейных операторов, отображающих линейное пространство L в себя есть два важных частных случая: тождественный оператор I, который каждый вектор переводит в себя (Ix=x), и нулевой оператор Θ,который каждый вектор отображает в нулевой (Θх=0). Эти два оператора являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект (равный dimL) и минимальный ранг (нулевой). Тождественный оператор, наоборот, имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный ранг (равный dimL).Оператор максимального дефекта определен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много.
Отображение, при котором различные векторы имеют различные образы, называется инъективным отображением.
Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро – нулевое подпространство.
Если отображение инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, пусть образы векторов х1,…,хк линейно зависимы: α1А(х1)+…+αкА(хк)=0. Тогда А(α1х1+…+αкхк)=0. отсюда для инъективного отображения получаем α1х1+…+αкхк=0, и, следовательно,х1,…,хк линейно зависимы.
Матрица линейного оператора.
Пусть А- линейный оператор. А(х)=у, х€L, у€L´,
е1,…,еn- базис в L, а h1,…,hm – базис в L´
,
е1,…,еn относятся в h1,…,hm , А(е1) €L´,
………………………………
рассмотрим матрицу линейного оператора а(х):
Замечание1. i – столбец А есть координаты А(ei) в базисе L´
=
=
=
=
…………………………
Замечание2. Линейный оператор А(х) действует по правилу А(х)=Ах, где А – матрица линейного оператора.
Замечание 3. Каждый линейный оператор А можно сопоставить матрицу А: А(х)=Ах с другой стороны каждая матрица А m×n соответствует линейному оператору А(х)=Ах из L
Т.о. между линейным оператором из L в L´ и матрицы m×n существует взаимнооднозначное соответствие в базисах е1,…,еn, h1,…,hm, т.е. если есть лин.оператор.