Высшая алгебра и аналитическая геометрия

1. 48. Матрицы, операции над ними. Определитель, свойства определителей. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы. Матрица и действия с матрицами

Опр. Таблица чисел

называется числовой матрицей размерностиmn, числа - элементами матрицы А. Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Рассмотрим множество матриц размерности mn.

Опр. Суммой двух матриц иназывается матрица .

Опр. Произведение матрицы на числоназывается матрица.

Очевидно, что выполняются следующие свойства операций:

1)А+В=В+А; 2) (А+В)+С=А+(В+С); 3)(+1)А=А+А; 4)(А+В)=А+В; 5)(А)=()А; 6)1А=А; 7)существует нулевой элемент такой, что А+О=А; 8)существует противоположный элемент такой, что А+(-А)=О.

Здесь А, В, С – любые матрицы одинаковой размерности, ,- любые числа.

Опр. Множества, в которых введены 2 операции, связанные свойствами 1)-8) называются линейными пространствами.

Итак, множество матриц одинаковой размерности образует линейное пространство с определенными выше операциями.

Опр. Произведением матриц иназывается матрица где.

Замечание. Определение корректно (имеет смысл) только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу столбцов строк матрицы В. Уже в числу этого умножение не обладает свойством коммутативности: АВВА. Перестановочности, вообще говоря, нет и тогда, когда оба произведения имеют смысл.

Пример: Найти произведение матриц и проверить перестановочны ли они.

=

Произведение ВА не имеет смысла. Значит, АВВА.

Опр. Матрица n-го порядка Е называется единичной матрицей n-го порядка, если у нее все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0.

Из определения произведения следует, что АЕ=ЕА=А, если А также матрица n-го порядка.

Другие свойства операции умножения:

1. (А+В)С=АС+ВС;

2. А(В+С)=АВ+АС;

3. (А)В=(АВ);

4. (АВ)С=А(ВС);

5. 0А=А0=0, если операции сложения и умножения имеют смысл.

Докажем, например, свойство 4). Для элемента i-й строки и k-го столбца (АВ)С имеем (считая ,,)

.

Получили элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы А(ВС), что требовалось доказать.

Определитель и их свойства

Опр. Пусть А – квадратная матрица порядка n. Число

(1)

называется определителем матрицы А (другие обозначения: det A, det||a_ij||), где - число инверсий в перестановкеили, что то же самое, в подстановке.

Заметим, что каждое слагаемое определителя n-го порядка в качестве сомножителей содержит по одному элементу с каждого столбца и с каждой строки; число слагаемых равно числу перестановок из n элементов, т.е. равно n!.

Рассмотрим, определите 2-го и 3-го порядка. При n=2 получим

.

При n=3 имеем

.

Докажем следующие свойства определителей.

1. При транспонировании (замене строк столбцами с теми же номерами) определитель не меняется местами.

Доказательство. Переставим сомножители в каждом слагаемом определителя (1) так, чтобы вторые индексы давали перестановку (1, 2, …, n). Получим произведение . При этом перестановкаимеет ту же четность что и , так как при перестановке столбцов подстановки четность ее не меняется. Тогда вместо можно писать . Но индексы суммирования можно обозначать любыми буквами, поэтому заменяя j на i получим .(2)

Сложив (1) и (2) и поделив на 2 получим

.

Отсюда видно, что

Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

Действительно, каждое слагаемое в (1) содержит сомножитель из нулевой строки, равный нулю, поэтому |A|=0.

2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то он поменяет знак.

Доказательство. Если переставим k-ю и s-ю строку, то вместе слагаемого в определителе (1) возникает слагаемое, которое отличается лишь знаком, так как перестановкии имеют разную четность. Итак, определители также отличаются лишь знаками. Утверждение для столбцов получится, если использовать свойство 1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, если переставить одинаковые строки, то определитель не меняется. С другой стороны, в силу свойства 3, определитель меняет знак. Значит, |A|= -|A|. Отсюда, |A|=0.

4. Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число , то определитель умножается на. Действительно, в каждом слагаемом суммы (1) вместо возникает , если умножаются элементыk-й строки. Вынося за скобки (за знак суммы) получим то, что требовалось.

5. Если элементы k-й строки (столбца) определителя имеют вид , то он равен сумме двух определителей, которые отличаются от исходного определителя толькоk-ми строками (столбцами): у одного определителя k-я строка (столбец) состоит из , у другого – из .

6. Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на какое-либо число, то определитель не изменяется. Для доказательства к новому определению применяем свойства 6, 5, 4.