Свойства математического ожидания.

1. Матем.ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С*1=С

◄ Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно, М(С)=С*1=С ►

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания М(СХ)=СМ(Х)

◄Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х х1 х2 . . .хn

Р p1 p2 . . .pn

Запишем закон распределения случайной величины СХ

CX Cx1 Cx2 . . . Cxn

P p1 p2 . . . pn

Математическое ожидание случайной величины СХ

М(СХ)=Итак, М(СХ)=СМ(Х) ►

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

◄Пусть независимые случайные величины X и У заданы своими законами распределения вероятностей

Х х1х2 Y y1y2

P p1p2 g g1g2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина ХУ. Для этого перемножим все возможные значения Х на каждое возможное значение У; в итоге получим х1у1, х2у2, х2у1 и х1у2. Учитывая замечание 2, напишем закон распределения ХУ, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны.

ХУ х1у1 х2у1 х1у2 х2у2

Р p1g1 p2g1 p1g2 p2g2

Матем.ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М(ХУ)=х1у1*p1g1+x2y1*p2g1+x1y2*p1g2+x2y2*p2g2, или

M(XY)=y1g1(x1p1+x2p2)+y2g2(x1p1+x2p2)=(x1p1+x2p2)(y1g1+y2g2)=M(X)*M(Y) ►

Следствие Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

3. Матем.ожидание суммы двух случайных величин равно сумме матем.ожиданий слагаемых М(Х+У)=М(Х)+М(У)

◄М(Х+У)=, или

(*)

Докажем, что . Событие, состоящее в том, что Х примет значение х1, влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х+У примет значение х1+у1 или х1+у2, и обратно. Отсюда и следует, что.Аналогично доказываются равенства,,. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получимили окончательноМ(Х+У)=М(Х)+М(У) ►

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появле­ний события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа по­явлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:М (X) = пр.

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появ­лений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэ­тому если Х_г — число появлений события в первом испы­тании, Х₂ — во втором, ..., Х„ — в п-м, то общее число появлений события X = Х₁ + Х₂ + . . . + Х_п.

По третьему свойству математического ожидания,

М (X) = М (Х₁) + М (Х₂) + ... +М (Хn). (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М (Х₁)— в первом, М (Х₂)—во втором и т.д. Так как матем.ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то М (Х₁) + М (Х₂) + ... +М (Хn)=р. Представляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим М(Х)=np (**)

Дисперсия дискретной случайной величины. Часто на практике требуется оценить рассеяние возможных значений случайных величин вокруг ее среднего значения.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, т.к. среднее значение отклонения, т.е М[х-М(Х)], для любой случайной величины =0. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают далее. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями приходится оперировать с абсолютной величиной, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат.ожидания. (X)=M[X-M(X)]²

Пусть случайная величина задана законом распределения

Х х1 х2 . . .хn

Р p1 p2 . . .pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон

[Х-М(Х)]² [х1-М(Х1)]² [х2-М(Х2)]² . . .[хn-М(Хn)]²

Р p1 p2 . . . pn

По определению дисперсии D(X)=M[Х-М(Х)]²= [Х1-М(Х1)]²p1+…+[Хn-М(Хn)]²pn

Т.о., чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Формула для вычисления дисперсии.

Теорема. Дисперсия равна разности между мат.ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее мат.ожидания. D(X)=M(X²)-[M(X)]²

◄Мат.ожидание есть постоянная величина следовательно, 2М(Х) и М²(Х) есть также постоянные величины

D(X)=M[X-M(X)] ²=M[X²-2XM(X)+M²(X)=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-2M²(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X)►

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С=0. D(C)=0

◄D(C)=M{[C-М(C)]²}. Пользуясь свойством 1 мат.ожидания. D(C)=M[C-C]²=М(0)=0. ►

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(CХ)=C² D(X).

◄ D(CХ)=M{[CХ-М(CХ)]²}. Пользуясь вторым свойством мат.ожидания

D(CХ)=M{[CХ-СМ(Х)]²}=M{С²[Х-М(Х)]²}=С ²М{[Х-М(Х)]²}=С ² D(X)... ►

2. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме этих величин

D(X+У)= D(X)+ D(У)

◄ D(X+У)=М[(X+Y) ²]- М[(X+Y) ] ²

D(X+Y)=M[X ²+2XY+Y ²]-[M(X)+M(Y)] ²=M(X ²)+2M(X)M(Y)+M(Y ²)-M ²(X)-2M(X)M(Y)--M²(Y)={[M(X ²)-M(X)]²}+{[M(Y ²)-M(Y)] ²}= D(X)+ D(Y)►

3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D(X-У)= D(X)+ D(У)

◄В силу 3 D(X-У)= D(X)+ D(-У)

по свойству 2 D(X-У)= D(X)+ (-1) ²D(У) , D(X-У)= D(X)+ D(У).►

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании. D(X)=npq

◄ Рассмотрим случайную величину Х- число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равна сумме появлений события в отдельных испытаниях Х=Х1+Х2+..+Хn

D(X)= D(X1)+ D(X2)+…+ D(Xn) (*)

Вычислим дисперсию Х1 по формуле D(X)= М(Х1² -[М(Х1)]²

Х1- число появлений события А в первом испытании поэтому М(Х1)=р. Найдем Х1², которая может принимать только два значения, а именно 1² с вероятностью р и 0² с вероятностью q

М(Х1²)=1²р+0²q=р, D(X1)=р-р²=р(1-р)=рq

Заменив каждое слагаемое правой части (*) через рq окончательно получим D(X)= npq ►

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х называют квадратичный корень из дисперсии σ(Х)=√ D(X)

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратичному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин.

σ(Х1+…+Хn)=√ σ ² (Х1)+…+ σ ² (Х n)

Х¯=(Х1+…+Х n)/ n – среднее арифметическое случайных величин.

1. Матем.ожидание среднее арифметическое одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно мат.ожиданию а каждой из величин. М(Х¯)=а

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин. D(X¯)=D/n (*)

3. среднее квадратичное отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в √n раз меньше среднего квадратичного отклонения σ каждой из величины σ(Х¯)=σ/√n (**)