40 Вычеты и основная теорема о вычетах. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке. Пусть z₀ - изолированная особая точка аналитической f(z). f(z)= ; 0<|z-z₀|<, c_n=. Опр. Комплексное число Выч[f(z),z₀]= , где С ⁺ - замкнутый контур, который можно стянуть к z₀ , оставаясь в кольце аналитичности функции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z₀. Очевидно Выч [f(z),z₀]=c_-1.

Основная теорема теории вычетов. Пусть f(z)C(\z₁,z₂,...,z_N) за исключением конечного числа N изолированных особых точек. Тогда Доказательство.   Если f(z)C(), то все точки- правильные точки f(z) . Выделим каждую из изолированных особых точек z_n функции f(z) замкнутым контуром _n, не содержащих внутри других особых точек, кроме z_n. В замкнутой многосвязной области, ограниченной и всеми контурами_n   f(z) является всюду аналитической. По теореме Коши для многосвязной области. Перенеся второе слагаемое направо, поменяв направление обхода контуров, использовав опр. вычета получим искомое Формулы вычисления Выч [f(z),z₀] в полюсе. Как считать вычеты? a)    z₀- устранимая особая точка. Выч[f(z),z₀]=0. b)    z₀ – полюс порядка m>0. f(z)==> => (z-z₀)^mf(z)= c_-m+...+ c_-1(z-z₀)^m-1+...=> Выч [f(z),z₀]=c_-1=. Частный случай m=1. Выч [f(z),z₀]=c_-1=. Если f(z)=(z)/(z), (z₀)≠ 0, (z)=(z-z₀)'(z₀)+...; '(z₀)≠0. Тогда Выч[f(z),z₀]=c_-1= (z₀)/'(z₀). c)     z₀- существенно особая: Выч[f(z),z₀]= c_-1=Вычет f(z) в z Вычет f(z) в z. Выч [f(z),z]=-=-c_-1. Если z- устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от 0.

Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.

Лемма 1. Пусть f(z)C(|z|>R₀ Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z|^{1+ }, >0. Тогда. (C'_R - полуокружность |z|=RImz>0).Доказательство. При R>R₀: ||≤<MR/R^{1+ }= M/R ^→0 при R→. Замечания. 1.    Если условия Леммы 1 выполнены при ₁<arg z<₂ , то. (C'_R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R∩ ( ₁<arg z<₂)) 2.    Условия Леммы 1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z, которая являетсянулем не ниже второго порядка для f(z). Теорема 1. Пусть f(x) задана при -<x<ианалитическое продолжение (f(z)=f(x) при z=x, f(z)-аналитическое продолжение f(x), из [a,b] в область g) f(z) на Im z≥0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 1. Тогда несобственный интеграл I-го рода Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R)UC'_R{|z|=R∩Imz>0}. По основной теореме теории вычетов Но, по Лемме 1, правая часть не зависит от R => Замечания. 1.    Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 1, то 2.    Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 1 для нижней полуплоскости.

Лемма 2 (Жордана). Если f(z)C(|z|>R₀ ∩Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z|→(равномерно по arg z, 0≤ arg z≤), zImz>0, то при a>0, C'_R - полуокружность |z|=R∩ Imz>0. Доказательство . 0 R: |f(z)|<R, |z|>R, причем R→0 при R→. При R>R₀: ||≤≤ {=Re^{i }=x+iy, x=Rcos, y=Rsin, ds=Rd, 

e^ia=e^ia(x+iy)= e^iaxe^-ay, |e^ia|=e^-ay=e^-ay=e^-aRsin}≤  {sin ≥(2/)при 0≤≤/2} <2Rпри R→, т.к.R →0 при R→(a>0).

Замечания. 1    Если f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана  при Imz≤ 0, то при a<0 , C'_R - полуокружность |z|=R∩ Imz<0. 2.    Если f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана при Rez≥0, то при a=i ( >0)  , C'_R - полуокружность |z|=R∩ Rez>0. 3.    Если f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана при Rez≤0, то при a=-i ( >0)  , C'_R - полуокружность |z|=R∩ Rez<0. 4.    Лемма Жордана остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана при Imz≥y₀ (Rez≥x₀; Imz≤y₀; Rez≤x₀), y₀(x₀ )- фиксированное число, которое может быть как >0, так и <0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-iy₀|=R∩Imz>0 (|z-x₀|=R∩Imz>0; |z-iy₀|=R∩ Imz<0; |z-x₀|=R∩Imz<0). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену =Re^{i }+iy₀ (=Re^{i }+x₀). 5.    Лемма Жордана остается справедливой и при ослабленных условиях на f(z). Пусть f(z) при Imz>y₀ при |z|>R₀ , равномерно относительно arg(z-iy₁) при |z|→f(z)=>0 в секторах -₀arg(z-iy₁)₁, - ₂arg(z-iy₁)≤+ ₀ , и равномерно ограничена в секторе ₁arg(z-iy₁)≤- ₂ ,  где 0≤₀, ₁, ₂/2 и y₁>y₀ . Тогда при a>0 , C'_R - полуокружность |z-iy₁|=R∩Imz>y₀.

Теорема 2. Пусть f(x) задана при -<x<ианалитическое продолжение f(z) на Imz≥0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям леммы Жордана. Тогда , где z _n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Imz≥ 0. Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R)U C'_R{|z|=R∩ Imz>0}. По основной теореме теории вычетов Но, по лемме Жордана, правая часть не зависит от R =>.