35. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Аналитические функции. Условие Коши-Римана. Элементарные функции комплексного переменного и их производные. Пусть f(z)C(g).Опр. f(z) называется дифференцируемой в точке z₀g, если при z0 ( z = z-z₀) конечный предел разностного отношения , где z₀g. Эта производная определяется совершено аналогично производной функции действительной переменной, как предел разностного отношения. Однако, приращение комплексного аргумента z характеризуется не только величиной | z|, но и направлением arg  z, а производная по определению от этого направления не зависит. Поэтому дифференцируемость функции комплексного переменного- значительно более редкое явление, чем дифференцируемость функции вещественного переменного, а дифференцируемые функции комплексного переменного- аналитические функции- обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительной переменной. Теорема 1. Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z₀, то u_x(x₀,y₀), u_y(x₀,y₀), v_x(x₀,y₀), v_y(x₀,y₀), причем они связаны условиями Коши-Римана: u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀) ; u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀). Доказательство.  z= x+i y. Т.к. предел, если он  , не зависит от способа стремления z0, то положим сначалаz=x. Получим = = u_x(x₀,y₀)+ iv_x(x₀,y₀)=*. Положив z=i y получим *== -iu_y(x₀,y₀)+v_y(x₀,y₀). Приравнивая вещественную и мнимую часть получим u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀) ; u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀). - условия Коши-Римана.  Пусть f(z)C(g) и f(z)=u(x,y)+iv(x,y).Теорема 2 Если в точке z₀=(x₀,y₀) gпервые дифференциалы функций u(x,y) и v(x,y) и первые частные производные этих функций в точке (x₀,y₀) связаны условиями Коши-Римана, то f(z) дифференцируемая функция в точке z₀. Доказательство. Заметим, что  первых дифференциалов означает, что  u= u_x(x₀,y₀) x+u_y(x₀,y₀) y+ + (x,y); . Аналогично v= v_x(x₀,y₀) x+v_y(x₀,y₀) y+ (x,y); . Обозначим(x,y)= (x,y)+i (x,y). Тогда = (т.к. u_y=-v_x и v_y=u_x). ==u_x(x₀,y₀)+iv_x(x₀,y₀)+ =>  

Замечания. 1) Эквивалентные формы записи производной: f(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y)=v_y(x,y)+iv_x(x,y)=u_x(x,y)-iu_y(x,y)=v_y(x,y)-iu_y(x,y) 2) Теорема 2 не является обратной к теореме 1. 3) Равенство равносильно тому, что для>0  ( )>0: такое, что |f/ z - f '(z₀)|< как только |z|<. => Если f(z) дифференцируема в точке z₀, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Опр.1. Функция f(z)C(g), дифференцируемая во всех точках zg, производная которой f ' (z)C(g) называетсяаналитической функцией в области g. Обозначение: f(z)C(g). Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g.Теорема 3. Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность первых частных производных u_x, u_y, v_x, v_y и связь их условиями Коши-Римана. Доказательство. Необходимость. f(z)C(g) => f'(z)C(g) =>u_x, u_y, v_x, v_yC(g). Выполнение условий Коши-Римана следует из теоремы 1. Достаточность. u_x, u_y, v_x , v_yC(g)=> первые дифференциалы функций u(x,y), v(x,y) => по теор. 2  f '(z)C(g)=u_x+iv_x; непрерывность f'(z) следует из непрерывности u_x , v_x. Зам.1. В дальнейшем будет показано, что из f(z)C(g) => f '(z)C(g) и дляn  f⁽ⁿ⁾(z)C(g), что оправдывает введенное определение.Зам.2. Включение в опр.1 условия f '(z)C(g) - масло масляное. Опр.1 может быть таким: "f(z) называется "аналитической" в g, если она дифференцируема во всех точках zg." и вместо теоремыы их производные. 2 будет Теорема 4. Если u(x,y) и v(x,y) C(g) и в точке z₀=(x₀,y₀)g первые частные производные u_x, u_y, v_x , v_y связанные условиями Коши-Римана, то f(z) дифференцируемая функция в точке z₀. и вместо теоремы 3 будет Теорема 5.  Необходимым и достаточным условиями "аналитичности" функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность u(x,y), v(x,y) и в  точке z=(x,y)gпервые частные производные u_x, u_y, v_x, v_y, связанные условиями Коши-Римана. Следствия условий Коши-Римана: 1) Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа: u_xx+u_yy=u=0 ; v_xx+v_yyv=0 2) Действительная и мнимая части аналитической функции f(z)=u( , )+iv( , ) комплексной переменной z=e^i связаны соотношениями: v_ = u_ , u_ =- v_. 3) Модуль и аргумент аналитической функции f(z)=R(x,y)e^{i (x,y)} связаны соотношениями: R_x=R_y,  R_y=-R_x Свойства аналитических функций. 1) Если f(z)C(g) (аналитическая в g), то f(z)C(g) (непрерывна в g). 2) Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля. 3) Если w=f(z)C(g) - аналитическая функция комплексной переменной z, причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция= (w)C(G), то F(z)= [f(z)]C(g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g. 4) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C(g) и f '(z₀)0, z₀g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z= (w)C(|w-w₀|< ) отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем '(w₀)=1/ f '(z₀). Доказательство.  Для существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения u=u(x,y), v=v(x,y) можно было разрешить относительно x, y в окрестности точки w₀. Т.е. эти уравнения задают неявные функции x,y как функции u,v. Для этого достаточно, чтобы в окрестности точки z₀ выполнялось условие . Но =u_xv_y-u_yv_x=( Коши-Римана)= u_x²+v_y²=|f '(z₀)|0. Доказано существование обратной функции z=(w). Cоставив разностное отношениеможно док-ть существование и непрерывность производной'(w₀) при условии |f '(z₀)|0. 5) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция u(x,y), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной. Доказательство. В силу условий Коши-Римана дифференциал неизвестной функции v(x,y) однозначно определен по функции u(x,y):  dv= v_xdx+v_ydy = -u_ydx+u_xdy. Функцию двух действительных переменных можно определить по ее полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной. 6) grad u=(u_x,u_y), grad v=(v_x,v_y), (grad u, grad v)=u_xv_x+ u_y v_y=- u_y v_y+ u_y v_y=0. Т.к. градиент ортогонален линии уровня => линии уровня u(x,y)=c, v(x,y)=c взаимно ортогональны.

Примеры простейших функций комплексной переменой. 1) Константа: f(z)=C - аналитическая на расширенной комплексной плоскости( т.е. комплексной плоскости с бесконечно удаленной точкой ( z_∞ =;  z_n=)) f '(z)=0. 2) Линейная функция f(z)=az+b аналитическая на всей комплексной плоскости. f '(z)=a. 3) f(z)=1/z - аналитическая всюду, кроме точки z=0. 4) f(z)=zⁿ , n-целое число- аналитическая на всей комплексной плоскости. f '(z)=nz^n-1 5) f(z)= z^* =x-iy - не аналитическая. u_x=1 ≠ v_y=-1;

37. Интеграл по кривой от функции комплексного переменного, интегральная формула Коши.

Интеграл по комплексной переменной1.

Пусть на комплексной плоскости z задана кусочно гладкая кривая G конечной длины L. Используя параметрическое представление кривой С зададим координаты каждой ее точки уравнениями, где- кусочно гладкие функции действительного параметра t, изменяющегося в пределах (могут со-ответственно принимать значения ±), удовлетворяющие условию . Задание координатточек этой кривой С эквивалентно заданию комплексной функции действительной переменной t.

Пусть в каждой точке кривой С определено значение функции Важным понятием в теории функций комплексной переменной является понятие интеграла от функции по кривой С. Это понятие вводится следующим образом. Разобьем кривую С на n частичных дуг точками деления соответствующими возрастающим значениям параметра Введем обозначение и составим сумму

(1)

где - произвольная точкаi-й частичной дуги.

Если при существует предел сумм (1), не зависящий ни от способа разбиения кривой С, ни от выбора точек, то этот предел называется интегралом от функции по кривой С и обозначается как

(2)

Вопрос существования интеграла (2) сводится к вопросу о существовании некоторых криволинейных интегралов от действительной u и мнимой v частей функции f(z). В самом деле, записав где- точка кривой С на плоскостиxy, можно представить выражение (1) в виде

Действительная и мнимая части представляют собой интегральные суммы криволинейных интегралов второго рода

(3)

Соответственно, откуда и следует выссказанное утверждение. Подчеркнем, что для существования криволинейных интегралов (3), а тем самым и интеграла (2) по комплексной переменной достаточно лишь кусочной непрерывности функций и и ѵ действительных переменных. Это означает, что интеграл (2) существует и в случае неаналитической функции f(z), если эта функция является кусочно непрерывной. Итак, интеграл (2) представим в виде

(4)

Это соотношение может само служить определением интеграла от функции f(z) no кривой С. Из него следует ряд свойств, являющихся очевидным следствием соответствующих свойств криволинейных интегралов:

1. (5)

2. (6)

3. Если a = комплексная постоянная, то

(7)

4. (8)

5. (9)

Где ds – дифференциал длины дуги кривой, а интеграл, стоящий справа, является криволинейным интегралом первого рода

6. Имеет место следующая формула замены переменной интегрирования:

(10)

где - аналитическая функция, устанавливающая взаимное соответствие между кривыми С и Г. В частности,

(11)

где z=z(t) есть параметрическое задание кривой С, а z( ) и z() начальная и конечная точки последней.

Замечание. Формула (4), в силу которой интеграл по комплексной переменной представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого являются криволинейными интегралами второго рода, а также соотношение (11) позволяют непосредственно перенести понятие несобственного интеграла от функции действительной переменной на случай комплексной переменной. Главным образом будем иметь дело с несобственными интегралами первого рода - интегралами по бесконечной кривой С. Несобственный интеграл первого рода по бесконечной кривой С называется сходящимся, если существует предел последовательности интегралов по любой последовательности конечных кривых составляющих часть С, при стремящихся к С, причем этот предел не зависит от выбора последовательности {С_п}. Если лишь при определенном выборе последовательности {С_п} существует предел последовательности интегралов то несобственный интеграл называется, сходящимся в смысле главного значения.

В дальнейшем будем рассматривать интегралы от функций, аналитических в некоторой ограниченной области, причем границей области является кусочно гладкая замкнутая кривая, не имеющая самопересечений. Кусочпо гладкую замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, будем называтъ замкнутым контуром. Если функция z(t) задает параметрически замкнутый контур, то она удовлетворяет условию при , за исключением случая . Интеграл (2) по замкнутому контуру часто называется контурным интегралом.

Теорема Коши. Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограни-ченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом или просто, интегрирование в отрицательном направлении – символом

Свойства интегралов по замкнутому контуру от функций, аналитических внутри области, ограниченной данным контуром, во многом определяются известными свойствами криволинейных интегралов второго рода. Как известно, для криво линейных интегралов пo замкнутому контуру имеет место следующее утверждение: если функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в замкнутой области G, ограниченной кусочно гладким контуром С, а их частные производные первого порядка непрерывны в G, то(12)

Теорема Коши. Пусть в односвязной областпи G задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда интеграл от этой функции f(z) no любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области G, равен нулю.

Док-во: Согласно формуле (4)

Так как функция f(z) - аналитическая всюду внутри контура Г, то фуикции и(х, у) и ѵ(х, у) в области, ограниченной этим контуром, обладают непрерывными частными производными первого порядка. Поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части последнего равенства, можно применить формулу (12). Кроме того, частные производные функций и(х,у) и v(х,у) связаны соотношениями Коши-Римана. Поэтому и

Что и доказывает утверждение теоремы.

Итак, теорема Коши устанавливает факт равенства нулю интеграла от аналитической функции по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области ее аналитичности. При дополнителъном условии непрерывности функции в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границей области аналитичности. Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши, но ввиду его важности для практических приложений мы выделим это утверждение в отдельную теорему.

Теорема (вторая формулировка теоремы Коши) Если фуакция f(z) является аналитической функцией в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром С, и непрерывна в замкнутой области , то интеграл от функции f(z) пo границе С области G равен нулю:

(13)

Теорема Коши устанавливает одно из основных свойств аналитической функции комплексной переменной. Ее фундаментальное значение будет следовать из дальнейшего изложения, здесь же ограничимся следующим замечанием.

Теорема формулировалась для односвязной области, однако ее легко обобщить и на случай многосвязной области. В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров: внешнего и внутренних. Положителъным направлепием обхода полной грапицы многосвязной области будем называть такое направление движения, при котором областъ все время остается слева. При этом внешний контур обходится в положительном, а внутренние - в отрицательном направлении.

Теорема. Пустъ f(z) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограничениой извне контуром , а изнутри контурами и пусть f(z) непрерывна в замкнутой области . Тогда , где С –

полная граница области G, состоящая из контуров , причем обход границы С происходит в положительном направлении.

Док-во: Проведем гладкие кривые соединяющие контур с контурами и т. д. (рис.1). Тогда область, ограниченная кривыми , и кривыми проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной. В силу предыдущей теоремы интеграл по границе этой области равен нулю. Но интегралы по вспомогательным кривым проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому имеет место равенство

(14)