Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
108
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
422.91 Кб
Скачать

46. Гильбертово пространство. Линейные непрерывные функционалы в гильбертовом пространстве.

Гильбертовы пространства

Опр1. Пространство со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.

Гильбертовы пространства обычно обозначают Н.

Пример: Евклидово пространство дает гильбертово

Опр2. Евклидовым называется линейное вектороное пространство со скалярным произведением. Скалярное произведение задает евклидову норму: || x || = (x, x)1/2.

Два вектора называются ортогональными (xy), если (x,y) = 0.

Полное бесконечномерное евклидово пространство H называется гильбертовым.

Примеры: l2, L2.

Утверждение. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой, и изоморфны пространству l2.

Опр3 Вещественное линейное пространство Е называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x ,y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы:

  1. (x, x)≥0 при этом (х, х)=0 в том и только в том случае, когда х=0;

  2. (x, y) = (y, x);

  3. (λx,y ) = λ(x, y );

  4. (x+y,z) = (x,z) + (y,z);

Если в трехмерном евклидовом пространстве задана плоскость L, проходящая через начало координат О, и точка Р, не лежащая на L, то существует точка , такая, чтореализует расстояние от точки Р до плоскостиL. При этом прямая перпендикулярна плоскостиL.

Пусть L- подпространство в Н, т.е. замкнутое линейное многообразие. Пусть, далее, , но. Расстояние от точких до подпространства L определяется формулой

.

Всякое подпространство гильбертова пространства является замкнутым выпуклым множеством.

Следствие 1. Существует единственный элемент , реализующий расстояние от точки х до подпространстваL:

Теорема Пусть ; тогда

Док-во:

Следствие 2. Пусть L -подпространство в Н; тогда для любого справедливо разложение

x=y+z,

причем это разложение единственно.

Общий вид линейного непрерывного функционала.

ОПР Линейного непрерывного функционала

Пусть есть линейное пространство L

Функционал f на пространстве L называется аддитивным, если для любых х,у верно .

Функционал f называется однородным, если для любого иверно

.

Функционал, который аддитивный и однородный одновременно назыв. линейным.

--------В гильбертовом пространстве H: G(x) = (g,x), gH.

Теорема (Ф. Рисс). В пространстве C[a;b] всякий непрерывный линейный функционал представляется в виде F(f) = , где (x) - функция с ограниченным изменением.

В пространстве lp : F(x) = , где f={fn}lq (1/q+1/p=1).

В пространстве Lp[a;b]: F(f) = , где h(t)Lq (1/q+1/p=1).

Опр4. Функции f(x) , для которых функция |f(x)|p измерима и интегрируема на E, составляют линейное пространство Lp(E). В пространстве Lp вводится норма:

|| f ||p = .

19. Пусть в бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ортогональная система , т.е.(k=1,2,…); приlk. Ряд вида называетсярядом по ортогональной системе .

Пусть . Числа(k=1,2,…) называются коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе , а рядназываетсярядом Фурье. Многочлен — частичная сумма ряда Фурье– называетсямногочленом Фурье элемента х.

Соседние файлы в папке шпоры