
- •41. Метрические пространства. Сходимость. Полнота. Сепарабельность.
- •Полные пр-ва.
- •Изометрия и сепарабельность.
- •Пополнение метрич-х пространств.
- •42. Метрические пространства. Изометрия. Непрерывные отображения метрических пространств.
- •Изометрия и сепарабельность.
- •43. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве и его связь с итеративными методами решения уравнений.
- •Принцип сжатых отображений и его связь с итерационными методами решения уравнений.
- •45. Линейные нормированные пространства. Линейные функционалы и операторы в лнп. Теорема Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала с сохранением нормы.
- •46. Гильбертово пространство. Линейные непрерывные функционалы в гильбертовом пространстве.
- •Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и почти всюду( Не знаю, точно подходит или нет!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
46. Гильбертово пространство. Линейные непрерывные функционалы в гильбертовом пространстве.
Гильбертовы пространства
Опр1. Пространство со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.
Гильбертовы пространства обычно обозначают Н.
Пример:
Евклидово пространство
дает гильбертово
Опр2. Евклидовым называется линейное вектороное пространство со скалярным произведением. Скалярное произведение задает евклидову норму: || x || = (x, x)1/2.
Два вектора называются ортогональными (xy), если (x,y) = 0.
Полное бесконечномерное евклидово пространство H называется гильбертовым.
Примеры: l2, L2.
Утверждение. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой, и изоморфны пространству l2.
Опр3 Вещественное линейное пространство Е называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x ,y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы:
(x, x)≥0 при этом (х, х)=0 в том и только в том случае, когда х=0;
(x, y) = (y, x);
(λx,y ) = λ(x, y );
(x+y,z) = (x,z) + (y,z);
Если в трехмерном
евклидовом пространстве задана плоскость
L,
проходящая через начало координат О, и
точка Р, не лежащая на L,
то существует точка
,
такая, что
реализует расстояние от точки Р до
плоскостиL.
При этом прямая
перпендикулярна
плоскостиL.
Пусть L-
подпространство в Н, т.е. замкнутое
линейное многообразие. Пусть, далее,
,
но
.
Расстояние от точких
до подпространства L
определяется формулой
.
Всякое подпространство гильбертова пространства является замкнутым выпуклым множеством.
Следствие 1.
Существует
единственный элемент
,
реализующий расстояние от точки х до
подпространстваL:
Теорема Пусть
;
тогда
Док-во:
Следствие 2. Пусть
L
-подпространство в Н; тогда для любого
справедливо разложение
x=y+z,
причем это разложение единственно.
Общий вид линейного непрерывного функционала.
ОПР Линейного непрерывного функционала
Пусть есть линейное
пространство L
Функционал f
на пространстве L
называется аддитивным,
если для любых х,у
верно
.
Функционал f
называется однородным,
если для любого
и
верно
.
Функционал, который аддитивный и однородный одновременно назыв. линейным.
--------В гильбертовом пространстве H: G(x) = (g,x), gH.
Теорема
(Ф. Рисс). В пространстве C[a;b]
всякий непрерывный линейный функционал
представляется в виде F(f)
=
,
где (x)
- функция с ограниченным изменением.
В пространстве lp
: F(x)
=
,
где f={fn}lq
(1/q+1/p=1).
В пространстве
Lp[a;b]:
F(f)
=
,
где h(t)Lq
(1/q+1/p=1).
Опр4. Функции f(x) , для которых функция |f(x)|p измерима и интегрируема на E, составляют линейное пространство Lp(E). В пространстве Lp вводится норма:
||
f
||p
=
.
19. Пусть
в бесконечномерном пространстве Е со
скалярным произведением дана ортогональная
система
,
т.е.
(k=1,2,…);
приl
≠ k.
Ряд вида
называетсярядом
по ортогональной системе
.
Пусть
.
Числа
(k=1,2,…)
называются коэффициентами
Фурье элемента
х
по ортогональной системе
,
а ряд
называетсярядом
Фурье.
Многочлен
— частичная сумма ряда Фурье– называетсямногочленом
Фурье элемента
х.