Изометрия и сепарабельность.

Два метрических пр-ва Х и У наз-ся изометрическими, если между их элементами можно установит взаимно-однозначное соответствие. С точки зрения вопроса сх-ти, полноты … два изометрических пр-ва можно считать идентичными.

Метрическое пр-во наз-ся сепарабельным, если в нём сущ-ет счётное или конечное всюду плотное мн-во.

Если всюду плотное в Х подмн-во М метрического пр-ва Х явл-ся подпространством, то и Х сепарабельно.

Пр-ва С[a,b] сепарабельны

Замкнутые и открытые мн-ва, замыкание мн-в, окрестность до множества.

Пусть мнво А. Точканаз-ся внутренней точкой мн-ва А, если сущ-ет

Точка хназ-ся предельной точкой мн-ва А, если для любого, т.е. существует послед-сть

Множество, полученное присоединением к А всех его предельных точек, наз-ся замыканием мн-ва А.(обозначение )

Мн-во А наз-ся замкнутым , если А=.

Мн-во А наз-ся открытым, если все его точки внутренние.

Мн-во А наз-ся плотным во мн-веN, если. Мн-во А наз-ся всюду плотным в пространстве Х , если= Х .

Окрестностью точки х наз-ем любое открытое мн=-во А , содержащую точку х, например, любой шар .

Расстоянием от точки х до мн-ва А наз-ся число

Мн-воназ-ся эпсилонокрестностью мн-ва А.

43. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве и его связь с итеративными методами решения уравнений.

Определение метрического пространства.

Множество Х наз-ся метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у

Поставлено в соответствии вещественное число , удовлетворяющее след. условиям:

1) >=0, =0  х=у (аксиома тождества)

2) = (аксиома симметрии)

3) <=+ (аксиома треугольника)

Число наз-тся расстоянием между элементами х и у (или метрикой пространства Х), а условия (1)-(3) – аксиомами метрики. Элементы метрического пространства наз-тся точками.

Принцип сжатых отображений и его связь с итерационными методами решения уравнений.

Пусть Х – полное метрическое пр-во с расстоянием -замкнутое мн-во в Х, х,у. Пусть назадан оператор Р, переводящийна себя. Элементuназовём неподвижной точкой оператораP, если

u=P(u). (1)

Таким образом , неподвижные точки являются решением Ур-ия (1).

Непрерывный оператор Р наз-ся сжатием (оператором сжатия) на , если для него при любых х,увыполнено условие Липшица

(2)

не зависит от х,у.

Пусть полс-ть ,к=0,1,…, такая, что

. (3)

Тогда говорят, что на задан оператором Р итерационный метод,или м-д последовательных приближений, а рекуррентную последовательность {} наз-ют итерационной.

Теорема.(принцип сжатых отображений) Если Р есть сжатие на , то всущ-ет единственное решениеu уравнения (1), которое может быть получено как предел посл-ти (3), где - произвольный элемент. Быстрота сх-ти посл-ти {} к решению оцениватся равенством

, к=1,2,… (4***)

Д-во : поскольку для к

Согласно (2) имеем

Поэтому для р>0 в силу неравенства треугольника

(5)

Неравенство (5) показывает, что посл-ть {} фундаментальна (ведьстремиться к 0 ), а в силу полнотыпр-ва Х он сх=ся к некоторому элементуu. Но, следовательно, в силу замкнутости, и операторP(u) имеет смысл. Пользуясь неравенством (2), имеем

0

Но

Следовательно, , т.е. выполнено соотношение (1), а это означает, чтоu-решение этого уравнения.

Единственность решения вытекает из нерав-ва (2). В самом деле, если бы х было вторым решением (1) и u, то

А это может быть лишь в случае =0, т.е. когдаu=x. Полученное противоречие доказывает единств-ть. Оценка (4) получается из (5) переходом в этом нерав-ве к пределу при . Эта оценка задает область расположения точного решения ур-ия (1). Например, для к=1 получаем

Пример. Пусть Х==-множество всех вещественных чисел, аи. Тогда |Р(х)-Р(у)|=[1-(1+|x|)]. Но неподвижных точек у отображения Р нет.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций.

1) Рассмотрим частный случай системы Ур-ия вида

(18)

С матрицей А={}; здесь Рх=Ах+b. Итерационный м-д

(1 5)

запишется в виде

,. (19)

Вследствие того, что неравенство Липшица с константойбудет выполнено с константой(20)

на всем пространстве R. Поэтому можем считать в неравенстве(она следует из нер-ва Липшица) , чтоr=, если. Следовательно, присправедлива след-яя формулировка:

Если матрица А системы (18) такова, что , где величинаопределена формулой (20), то система уравнений (18) имеет единственное решение.

Это решение можно получить методом итераций (19), исходя из произвольного начального вектора . Быстрота сходимости итераций оценивается неравенством (4***).

2)обыкновенные диф Ур-ия

В ОДУ теоремы сущ-ия и единств-ти решения задачи Коши

y’(x)=f(y,x), y(0)=y0 , x(30)

док-ся путем преобразования диф Ур-ия (30) в эквивалентное интегральное Ур-ие с переменным верхним пределом

y(x)=y0+и последующим применением метода последовательных приближений)=y0+, который в данном случае наз-ся методом Пикара

Сх-ть метода Пикара следует из принципа сжатых отображений. Пусть ф-ия f(x,y) явл. при любых у и х непрерывной ограниченной ф-ей, удовлетворяющей по у условию Липшица с константойL:

Определим метрику формулой

Тогда

Где

Таким образом, если L1>L, то q<1, т.е.выполнен принцип сжатых отображений.