Функан!

41. Метрические пространства. Сходимость. Полнота. Сепарабельность.

Определение метрического пространства.

Множество Х наз-ся метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у

Поставлено в соответствии вещественное число , удовлетворяющее след. условиям:

1) >=0, =0  х=у (аксиома тождества)

2) = (аксиома симметрии)

3) <=+ (аксиома треугольника)

Число наз-тся расстоянием между элементами х и у (или метрикой пространства Х), а условия (1)-(3) – аксиомами метрики. Элементы метрического пространства наз-тся точками.

Из аксиом метрики следует обратное неравенство треугольника.

|-|<=

Всякое мн-во Y, принадлежащее метрическому пространству Х и имеющее те же расстояния между элементами, что и в Х, назовём подпространством пространства Х. Диаметром d(A) мн-ва Аназовём величину

d(a)=

Множества Аназовём ограниченным, если его диаметрd(A)<; это означает, что найдутся такой элементи постоянная с>0, что

Назовём шаром, замкнутым шаром и сферой в точке и радиусомr>0 соответственно следующиеие мн-ва точек:

,

Примеры метрических пространств.

1.Числовая прямая. Пусть -множество всех вещественных чисел., а За Х можем взять отрезок (а,b), где a<b-вещественные числа.

2.Пусть Х-конечное множество, состоящее из элементов . Положим

3. n-мерное вещественное пространство. Пусть , х=(),y=(),

x,y. Метрику в можно ввести разными способами, например,

Для каждой метрики получаем свое метрическое пространство; шар, сфера в этих трех метрических пространствах не совпадают между собой при r>0.

4. Пространство числовых последовательностей(X-множество бесконечных числовых последовательностей

Пусть ии.Положим

Сходимость в метрическом пространстве, предел посл-ти.

Опр. Точка х метрического пространства Х наз-ся прделом бесконечной посл-ти точек (пишем). Определенную таким образом сходимость последовательностиназ-ют сходимостью по расстоянию (метрике) простанства Х.

Лемма1. Посл-ть точек {х} метрического пр-ва может сх-ться не более чем кодному пределу.

Д-во: пусть ,. По аксиоме треугольника <=+ , следовательно, , т.е. х=у.

Лемма2. Расстояние есть непрерывная ф-я своих аргументов, т.е. если ,, то

Д-во: т.как |-|<=

Имеем |-|<=

Две метрики на мн-ве элементов наз-ся эквивалентными, если сходимость последовательности элементов по одной из них означает сходимость и по другой.

Замкнутые и открытые мн-ва, замыкание мн-в, окрестность до множества.

Пусть мнво А. Точканаз-ся внутренней точкой мн-ва А, если сущ-ет

Точка хназ-ся предельной точкой мн-ва А, если для любого, т.е. существует послед-сть

Множество, полученное присоединением к А всех его предельных точек, наз-ся замыканием мн-ва А.(обозначение )

Мн-во А наз-ся замкнутым , если А=.

Мн-во А наз-ся открытым, если все его точки внутренние.

Мн-во А наз-ся плотным во мн-веN, если. Мн-во А наз-ся всюду плотным в пространстве Х , если= Х .

Окрестностью точки х наз-ем любое открытое мн=-во А , содержащую точку х, например, любой шар .

Расстоянием от точки х до мн-ва А наз-ся число

Мн-воназ-ся эпсилонокрестностью мн-ва А.

Сходящаяся в себе или фундаментальные посл-ти.

Посл-ть {} элементов метрического пространства Х наз-ся сход-ся в себе (или фундаментальной) если для любого существует

Теорема. Всякая фундаментальная посл-ть {} ограничена.

Д-во Зададим и подберемN так, чтобы приn,m. То приn. Пусть r=max{,}, то для любогоn

Теорема Если пос-ть {} сх-ся к пределу , то она фундаментальна.

Д-во Пусть , то

Обратное утв-ие для произвольного метрического пр-ва неверно.