12. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Опр. Функция называетсядифференцируемой в данной точке , если приращениеэтой функции в точке, соответствующее приращению аргумента, может быть представлено в виде,(9)

где - некоторое число, не зависящее от, а– функция аргумента, являющаяся бесконечно малой при.

Заметим, что функция () может принимать в точке=0 какое угодно значение. Ради определенности можно положить(0)=0 (при этом частное значение функции() в точке=0 будет совпадать с ее предельным значением в этой точке).

Так как произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем, т.е.=0(), то формулу (9) можно переписать в виде.

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки.

Опр. Говорят, что функция имеет в точкелокальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в пределах которой значениеявляется наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

На рис.1 изображена функция , имеющая локальный максимум в точке.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Теоремы0( о достаточном условии возрастания (убывания) функции в точке):если функция дифференцируема в точкеи, то эта функция возрастает (убывает) в точке.

Опр. Говорят, что функция возрастает (убывает) в точке , если найдется такая окрестность точки, в пределах которойприипри(приипри).

Установим необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Теорема1. Если функция дифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство. Так как функция имеет локальный экстремум в точке, тоне может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Стало быть, в силутеоремы0 производная не может быть ни положительна, ни отрицательна, т.е..

Теорема1 имеет простой геометрический смысл: она утверждает, что если в точке кривой , которой соответствует локальный экстремум функции, существует касательная параллельно оси(рис.1). касательная

-рис.1

Таким образом, для отыскания у дифференцируемой функции точек возможного экстремума следует найти все корни уравнения(т.е. найти все нули производной). Впредь мы будем называть корни уравненияточкамивозможного экстремума функции (иногда корни уравненияназываютсястационарными точками).

• Первое достаточное условие экстремума

Теорема2. Пусть точка является точкой возможного экстремума функции, и пусть функциядифференцируема всюду в некоторой окрестности точки. Тогда, если в пределах указанной окрестности производнаяположительна (отрицательна) слева от точкии отрицательна (положительна) справа от точки, то функцияимеет в точкелокальный максимум (минимум). Если жеимеет один и тот же знак слева и справа от точки, то экстремума в точкенет.

Доказательство. 1) Пусть сначала производная в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна) слева оти отрицательна (положительна) справа от. Требуется доказать, что значениеявляется наибольшим (наименьшим) среди всех значенийв рассматриваемой окрестности. Обозначимлюбое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от . Достаточно доказать, что.

Функция дифференцируема (а столь быть, и непрерывна) на сегменте. Применяя кпо сегментутеорему Лагранжа (см. 4 вопрос), будем иметь

, (10)

где – некоторое значение аргумента междуи. Поскольку производная положительна (отрицательна) при<и отрицательна (положительна) при>, правая часть (10) положительна (отрицательна).

2) Пусть теперь производная имеет один и тот же знак слева и справа от. Обозначая, как выше, черезлюбое значение аргумента, отличное от , и повторяя проведение выше рассуждения, мы теперь докажем, что правая часть (10) имеетразные знаки при <и при>. Это отсутствие экстремума в точке.

Вытекающее из теоремы2 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную точку возможного экстремума производнаяменяет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функцияимеет в точкелокальный максимум (минимум); 2) если же при переходе через данную точкувозможного экстремума производнаяне меняет знака, то экстремума в точкенет.

Примеры. 1) Предполагая, что консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса r и высоты h, определитель, при каком соотношении между r и h консервная банка с постоянной площадью полной поверхности имеет наибольший объем.

Обозначим площадь полной поверхности консервной банки через S. Тогда

. (11)

Из этого равенства находим, что .

Таким образом, мы можем выразить объем V консервной банки как функцию радиуса r: . Задача сведена к отысканию максимума функции. Приравнивая к нулю производнуюи учитывая, чтоr<0, находим точку возможного экстремума

. (12)

Хотя по смыслу задача и ясно, что единственная точка возможного экстремума является точкой максимума функции V(r), мы можем строго убедиться в этом, используя теорему1 и замечая, что производная положительна прии отрицательна при. Установим теперь, при каком соотношении между радиусомr и высотой h реализуется наибольший объем V(r) консервной банки. Для этого равенство (11) на r² и в правой части полученного при этом равенства воспользуемся соотношением (12). При этом получим h/r=2, т.е. h=2r.

Таким образом, наибольший объем будет у той консервной банки, у которой высота равна диаметру.

2) Найти точки экстремума функции . Поскольку, то единственной точкой возможного экстремума является точкойx=2.

Так как положительна, как слева, так и справа от этой точки, то функциявовсе не имеет точек экстремума.

• Второе достаточное условие экстремума.

Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума. На этот случай мы укажем другое достаточное условие наличия экстремума в данной точкевозможного экстремума, не требующее исследования знакав окрестности, но зато предполагающее существование в точкеотличной от нуля конечной второй производной.

Теорема3. Пусть функция имеет в данной точкевозможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функцияимеет в точкемаксимум, если<0, и минимум, если>0.

Доказательство. Из условия <0 (>0) и изтеоремы0 вытекает, что функция убывает (возрастает) в точке. Поскольку по условию, то найдется такая окрестность точки, в пределах которойположительна (отрицательна) слева оти отрицательна (положительна)справа от. Но тогда по предыдущей теоремеимеет в точкемаксимум (минимум).

Замечание.Теорема3 имеет более узкую сферу действия, чем теорема2. Так, теорема3 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная не существует в точке, а также для случая, когда=0. В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точкепроизводных высших порядков.

Пример. Найти экстремальные значения функции . Так как, то функцияимеет две точки возможного экстремума:и. Поскольку знакслева и справа от этих точек легко выясняется, можно решить вопрос об экстремуме при помощи теоремы2 (первого достаточного условия). Но мы предпочитаем привлечь теорему3 ( второе достаточное условие). Имеет

.Таким образом, функция имеет максимум в точке 0 и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны