Основные св-ва определенного интеграла.

Докажем справедливость следующих св-в определенного интеграла:

1Мы будем считать, что(10.6)

Отметим, что формула (10.6) должна рассматриваться как соглашение. Ее нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на сегмент нулевой длины.

2. Мы будем считать, что приa<b

(10.7)

Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент [a,b] при a<b пробегается в направлении от b к a (в этом случае в интегральной сумме все разности имеют отрицательный знак).

3. Пусть ф-цииf(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b]. Тогда ф-ции f(x)+g(x), f(x)-g(x) и f(x) *g(x), также интегрируемы на этом сегменте, причем (10.8)

4Если ф-цияf(x) интегрируема на сегменте [a,b] , то ф-ция cf(x)(c=const) интегрируема на этом сегменте , причем (10.9)

Действительно, интегральные суммы ф-ций f(x) и cf(x) отличаются постоянным множителем c . Поэтому ф-ция сf(x) интегрируема и справедлива формула (10.9).

5Пусть ф-цияf(x) интегрируема на сегменте [a,b]. Тогда эта ф-ция интегрируема на любом сегменте [c,d] содержащемся в сегменте [a,b].

Так как ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] , то для любого ε>0 существует такое разбиение Т сегмента [a,b] , что S-s< ε. Добавим к точкам разбиения Т точки c и d.В силу св-ва 2 верхних и нижних сумм для полученного разбиения Т*, тем более справедливо неравенство S-s< ε. Разбиение Т* сегмента [a,b] порождает разбиение сегмента [c,d] .Если - верхняя и нижняя суммы разбиения, то, поскольку каждое неотрицательное слагаемоев выражениибудет также слагаемым в выражении дляS-s. Следовательно, , и поэтому ф-цияf(x) интегрируема на сегменте [c,d].

6Пусть ф-цияf(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b].Тогда эта ф-ция интегрируема на сегменте [a,b] , причем(10.10)

Рассмотрим сначала случай, когда a<c<b. Так как ф-ция f(x) интегрируема нм сегментах [a,c] и [c,b], то существуют такие разбиения этих сегментов, что разность S-s для каждого из них меньше ε/2. Объединяя эти разбиения, мы получим разбиение сегмента [a,b], для которого разность S-s будет меньше ε. Следовательно, ф-ция f(x) интегрируема на [a,b] . Будем включать точку с в число делящих точек сегмента [a,b] при каждом его разбиении. Тогда интегральная сумма для f(x) на [a,b] равна сумме интегральных сумм для этой ф-циии на [a,c] на [c,b]. В пределе мы получим формулу (10.10).

Если точка с лежит вне сегмента [a,b], то сегмент [a,b] есть часть сегмента [a,c](или [c,b]) и поэтому, в силу св-ва 5, ф-ция f(x) интегрируема на [a,b].Рассмотрим случай a<b<c. Тогда

Отсюда, используя св-во 2 и формулу (10.7), мы опять получим соотношение (10.10). Легко убедиться в справедливости этого соотношения и при c<a<b.

24. Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

1. Существование первообразной для непрерывной ф-ции.Введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть ф-ция f(x) интегрируема на любом сегменте , содержащимся в интервале (a,b), и пусть с – некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда , каково бы ни было число x из интервала (a,b), ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена ф-ция

F(x)=,

Которую называют интегралом с переменным верхним пределом. Докажем следующую теорему.

Теорема 10.6Любая непрерывная на интервале (a,b) ф-ция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных яв-ся ф-ция F(x)=,

где с- любая фиксированная точка интервала (a,b).

Док-во. Достаточно док-ть, что для любого фиксированного x из интервала (a,b) существует предельное значение , причем это предельное значение равноf(x). Имеем , в силу св-ва 6 определенных интегралов

F(x+∆x)-F(x)= По формуле находимF(x+∆x)-F(x)=

где ξ- число заключенное между числами x и x+∆x.Поскольку ф-ция f(x) непрерывна в точке x , то при ∆x→0 f(ξ)→f(x). Поэтому из последней формулы находим

=.Теорема доказана.

Зам-е1.Аналогично док-ся теорема о существовании первообразной у непрерывной на сегменте [a,b] ф-ции.Отметим, что в этом случае в качестве нижнего предела интегрирования с м/о взять a.

Зам-е 2.При док-ве теоремы 10.6 мы установили существование производной от интеграла с переменным пределом и доказали , что эта производная равна подынтегральной ф-ции

(10.17)

Зам-е3.Отметим, что если ф-ция f(x) интегрируема на любом сегменте , содержащимся в интервале (a,b), то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на интервале (a,b) ф-цию от верхнего предела. Чтобы убедиться в этом, докажем, что приращение ∆F=F(x+∆x)-F(x) ф-ции F(x)=стремится к нулю при ∆х→0. Имеем, в силу формулы( где µ удовлетворяет неравенствуm≤µ≤M, m,M-точные грани f(x) на сегменте [a,b] ) :

∆F=F(x+∆x)-F(x)=,

Где число µ заключено между верхней и нижней гранями ф-ции f(x) на сегменте [x,x+∆x]. Из последней формулы вытекает, что и ∆F→0 при ∆x→0.

Зам-е4.Интеграл с переменным верхним пределом часто исп-ся для определения новых ф-ции. Мы уже отмечали, что первообразные некоторых элементарных ф-ций не выражается через элементарные ф-ции и не яв-ся поэтому элементарными ф-циями. Напомним, что к числу неэлементарных ф-ций относятся , например, ф-ция.

Основная формула интегрального исчислении.

Мы доказали, что любые 2 первообразные данной ф-ции отлич-ся на постоянную.Поэтому согласно теореме 10.6 и зам1. к этой теореме,можно утвеождать, что любая первообразная Ф(х) непрерывной на сегменте [a,b] ф-ции f(x) имеет вид

Ф(x)= ,где С- некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала x=a, а затем x=b и используя св-во 1 определенных интегралов, найдем

Ф(a)=C, Ф(b)=

Из этих неравенств вытекает соотношение ,

называемое основной формулой интегрального исчисления.

Итак, для вычисления определенного интеграла от непрерывной ф-ции f(x) нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Отметим, что основная формула интегрального исчисления открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче разыскания первообразной ф-ции.

Формулу (10.18) иногда записывают в иной форме. Именно, разность Ф(b)-Ф(a)|. Тогда

(10.19)

Рассмотрим несколько примеров: 1)2)