ШПОРЫ ПО ФИЗИКИ / Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия вращающегося тела:

Найдем выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси OZ. Кинетическая энергия dW_к малого элемента тела, отстоящего на расстоянии р от оси вращения и имеющего массу dm, равна

Кинетическая энергия всего тела

где J – момент инерции тела относительно оси вращения. Можно показать (По теореме Кёнига кинетическая энергия механической сист. равна сумме кинетической энергии той же сист. в её движении относительно сист. центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая сист., двигаясь поступательно со скоростью её центра масс), что при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия W_к равна сумме кинетической энергии поступа­тельного движения тела со скоростью v_C его центра масс (W_к^пост=m²_C/2, m – масса те­ла) и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (W_к^вращ=J_C²/2, J_C – момент инерции тела отно­сительно мгновенной оси):

Следует иметь в виду, что в общем слу­чае положение по отношению к телу мгно­венной оси вращения этого тела вокруг цент­ра масс изменяется с течением времени, так что J_Cconst. Однако в ряде случаев (например, при качении по плоскости однород­ного цилиндра или шара) J_C=const. [Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью, то его кинетическая энергия W_к=L/2 где L=_(m)[rv]dm – момент импульса тела относительно

точки O, принятой за начало координат. В самом деле, скорость малого элемента тела v=[r]. Поэтому его кинетическая энергия

так как смешанное произведение трех

векторов не изменяется при циклической перестановке всех сомножителей. Интегри­руя это выражение, найдем кинетическую энергию всего тела: