ШПОРЫ ПО ФИЗИКИ / Импульс и энергия в специальной теории относительности

Импульс и энергия в специальной теории относительности:

В реляти­вистской механике выполняется закон сохранения импульса: при любых процессах, происходящих в замкну­той системе, её импульс (т. е. геометрическая сумма произведений релятивистских масс всех частей этой системы на их скорости) не изменя­ется. Основное уравнение релятивистской ди­намики имеет вид

где

– импульс тела (материальной точки) в релятивистской механике. Можно показать, что уравнение (7.21) удовлетворяет требованию лоренц-инвариантности, если при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразовывать компоненты силы вдоль осей координат по определенному закону. При малых скоростях (<<с) масса те­ла mm₀=const и релятивистское уравне­ние (7.21) совпадает с основным законом ньютоновской динамики (2.5), а импульс тела является линейной функцией его скорости: p=m₀v=mv. У всех тел масса покоя m₀>0. Поэтому, как видно из формул (7.20) и (7.22), релятивистская масса и импульс тела должны неограниченно возрастать при стремлении скорости тела к скорости света в вакууме. Все реальные силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено во време­ни. Они не могут сообщить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а всегда меньше её. Это утверждение справедливо также для атомов, молекул и всех элементарных частиц, за исключением фотонов. Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивист­ской механике. Приращение кинетической энергии материальной точки на элементар­ном перемещении dr равно работе, совер­шаемой на этом перемещении силой F, действующей на материальную точку:

где v—скорость точки. При изменении скорости материальной точки приращения её кинети­ческой энергии и релятивистской массы про­порциональны друг другу:

Кинетическая энергия покоящейся точ­ки (=0) равна нулю, а её релятивистская масса равна m₀. Поэтому, проинтегрировав уравнение (7.24) по m от m₀ до m, полу­чим следующее выражение для кинетиче­ской энергии материальной точки:

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

Если <<c, то можно ограничиться пер­выми двумя членами этого ряда, тогда

Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки её кинетическая энергия, вычисленная по релятивист­ской формуле (7.25), совпадает со значени­ем этой энергии в ньютоновской механике. Однако при больших скоростях материаль­ной точки её кинетическая энергия W_к=(m–m₀)с² отлична и от m₀²/2, и от m₀²/2. Формулы (7.24) и (7.25) справедли­вы также для системы материальных точек (например, твердого тела), движущихся как одно целое со скоростью v.