Gmail / Механика-4

Печатается по решению кафедры общей физики: протокол № 1 от 30 августа 2012 г.

Составители: к.ф-м.н., доц. Акманова Г.Р. к.ф-м.н.,доц. Гирфанова Ф.М.

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, 2 цилиндра.

Цель работы: 1. Экспериментально определить момент инерции цилиндра.

2.Сравнить расчетное значение момента инерции цилиндра с определенным экспериментально.

3.Проверить теорему Гюйгенса-Штейнера.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела записывается в виде:

где M Mi - результирующий момент сил, действующих на

i

тело относительно данной оси вращения. J - момент инерции тела относительно той же оси,

d - угловое ускорение тела. dt

Как видно, уравнение (1) аналогично уравнению динамики поступательного движения (в проекции на ось):

но вместо сил Fi в уравнение (1) входит момент сил Mi, вместо

вместо массы m - величина J, называемая моментом инерции тела относительно оси.

Таким образом, если при поступательном движении твердого тела мерой инертности является масса, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

3

Моментом инерции J материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы m точки на квадрат расстояния r до оси вращения:

Твердое тело представляет собой совокупность конечного числа материальных точек.

Для нахождения момента инерции твердого тела относительно данной оси необходимо мысленно разбить тело на достаточно малые частицы (материальные точки), найти момент инерции частицы, затем сложить вместе:

Формулой (4) пользуются, если вещество в теле распределено прерывисто (дискретно).

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла:

где r – расстояние от частицы массой dm до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Из формул (4) и (5) видно, что момент инерции тела относительно данной оси зависит от величины массы тела и от распределения этой массы относительно оси вращения.

Таким образом, при вращательном движении тела масса не может служить мерой инертности, так как одно и то же тело может проявлять различную инертность, зависящую от того на каком расстоянии от оси вращения расположено это тело. При данной массе тела возможно бесчисленное множество моментов инерции и зависимости от выбора оси вращения.

Момент инерции тела относительно данной оси можно найти вычислением по формулам (4) и (5) или определить экспериментально аналитическое вычисление интегралов (5)

4

возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены случайно. Во многих вычисление момента инерции можно упростить, используя некоторые соображения и соотношения, в частности, теорему ГюйгенсаШтейнера, которая имеет следующую формулировку: момент инерции J тела относительно любой оси равен моменту инерции Jо относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Теорема Гюйгенса-Штейнера позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

В данной работе момент инерции тела определяется экспериментально с помощью трифилярного подвеса.

5

Трифилярный подвес состоит из платформы массой mпл радиуса R, подвешенной на трех симметрично расположенных нитях. Наверху эти нити симметрично закреплены по краям платформы меньшего радиуса r. Если повернуть нижнюю платформу вокруг вертикальной оси на некоторый угол φ относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начнет совершать крутильные колебания. Период колебаний трифилярного подвеса будет зависеть от момента инерции платформы, он будет меняться при нагружении платформы каким-нибудь телом, а также при изменении положения данного тела относительно оси вращения. Найдем зависимость периода колебаний подвеса от момента инерции. Покажем, что в случае малого смещения системы от положения равновесия и в отсутствии силы трения трифилярный подвес будет совершать

6

гармонические колебания. Рассмотрим энергетическое описание процесса. Если нижнюю платформу вывести из положения равновесия, то она поднимается на некоторую высоту относительно первоначального уровня и полная механическая энергия W ее будет равна потенциальной энергии. При движении к положению равновесия у подвеса появляется кинетическая энергия, которая в положении равновесия достигает своего максимального значения, равного полной механической энергии системы. В любом промежуточном положении подвес имеет и потенциальную и кинетическую энергию:

z - координата точки O' в промежуточном положении.

Из рисунка видно, что координаты точки С равны (r,0,0), а

Извлекая корень из (8), найдем (при малых φ)

7

Подставим это значение z в уравнение (7), получим

Продифференцировав (10) по времени и сократив на , получим уравнение движения системы:

где амплитуда φ и фаза ψ определяются начальными условиями. Итак, трифилярный подвес совершает гармонические колебания.

Период колебаний подвеса

Учитывая, что параметры прибора R, r, z, во время опыта не меняются, формулу (15) удобно записать в виде

8

Формула (16) позволяет вычислить момент инерции платформы с телом и без него по измеренной величине периода Τ. Она была получена в предположении, что в системе нет потери энергии на трение. Ее можно применить и в том случае, если потери энергии на трение за период малы по сравнению с энергией колебаний системы. Критерием применимости формулы (15) является условие

где τ – время, в течении которого амплитуда колебаний платформы уменьшается примерно в 2 раза.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Вычислить константу прибора k , используя формулу (17), где значения величин R, r, z указаны на установке. Оценить относительную εk и абсолютную k погрешности постоянной k. 2. Ненагруженную платформу вывести из положения равновесия, отклонив на малый угол (~10о) и сообщить ей крутильные колебания. Измерить время t 10 полных колебаний с помощью секундомера. Измерения повторить 5 раз. Занести измерения t в

4. Установить один цилиндр в центр платформы и аналогично п.2

9

произвести измерения времени 10 полных колебаний. Найти среднее значение времени t. Оценить абсолютную t и относительную εt погрешности.

5. Определить среднее значение периода колебаний Т нагруженной платформы. По формуле (16) определить момент инерции J1нагруженной платформы с учетом того, что масса m в данном случае равна сумме масс платформы и цилиндра: m=mпл+mц. Оценить относительную εJ и абсолютную J1 погрешности.

Так как момент инерции – величина аддитивная, то

и сравнить его с полученным по формуле (20) значением Jо. Значения mц и Rц приведены на установке.

6. Для проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера используются два цилиндра.

Расположить цилиндры симметрично на платформе так, чтобы

аналогично п.2. Оценить абсолютную t и относительную εt погрешности.

7. Определить среднее значение периода колебаний Т платформы с двумя цилиндрами. По формуле (16) определить момент инерции J2 системы с учетом, что масса m в этом случае равна сумме массы платформы и удвоенной массы цилиндра:m mпл 2mц .

Аналогично выражению (19) момент инерции системы равен

10