Gmail / Механика-3

Печатается по решению кафедры общей физики: протокол № 9 от 30 нюня 2011 г.

Составители: к.ф.-м.н., доц. Акманова Г.Р., к.ф.-м.н., доц. Гирфанова Ф.М.

2

Лабораторная работа № 3 ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Приборы и принадлежности: маятник Обербека с набором грузов и миллисекундомером.

Цель работы: 1. Изучить закон динамики вращательного движения твердого тела.

2. Определить момент инерции твердого тела.

Краткая теория

Все тела под действием сил изменяют свою форму, т.е. деформируется. Однако в ряде случаев деформацией тел можно пренебречь и такое недеформированное тело называют твердым (абсолютно твердым). Абсолютно твердое тело - это модель реального тела, деформацией которого можно пренебречь, т.е. расстояние между частицами тела остается неизменным при действии на тело силы.

В общем случае твердое тело может двигаться сложным образом. Анализ движения показывает, что любое движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное.

В данной работе изучается закон динамики вращательного движения. Уравнение основного закона динамики вращательного движения в общем виде, справедливом как в классическом, так и релятивистском случаях, имеет вид:

данное тело, относительно данной оси;

N I - момент импульса тела относительно той же оси; I - момент инерции тела относительно заданной оси;

- вектор угловой скорости тела.

Уравнение (1) называют также уравнением второго закона Ньютона для вращательного движения.

Если момент инерции I тела относительно данной оси постоянен, то в

3

(1) его можно вынести за знак дифференциала и уравнение динамики вращения примет вид:

dt

где - вектор углового ускорения тела. Выразим модуль углового

ускорения

I

Из (3) видно, что угловое ускорение тела прямо пропорционально результирующему моменту сил М, действующему на тело, и обратно пропорционально моменту инерции I тела. Оба момента берутся относительно одной и той же оси.

Уравнение (3) аналогично уравнению динамики поступательного движения, которое при постоянной массе m тела имеет вид:

где ac - линейное ускорение центра масс тела;

F - результирующая всех сил, действующих на тело: F Fi

Сравнивая (3) и (4), мы видим, что мерой инертности при вращательном движении является момент инерции I, значение которого при данной массе т, зависит от того, на каком расстоянии от оси вращения данная масса находится.

Для материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения

I mr2

Твердое тело представляет собой совокупность материальных точек, поэтому момент инерции тела относительно данной оси представляет собой сумму моментов инерции материальных точек, из которых оно состоит:

4

Формулой (5) пользуется для определения I, если точки в теле распределены дискретно (прерывисто). Если точки распределены непрерывно (тело сплошное), то

где dm - масса частицы тела, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

Для экспериментальной проверки уравнения основного закона динамики вращательного движения в данной работе используется маятник Обербека.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Маятник Обербека представляет собой крестовину из четырех взаимно-перпендикулярных стержней, по которым могут перемещаться грузы. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый шкив, на который наматывается нить.

Один конец нити прикреплен к шкиву, а на втором конце нити подвешен груз. Под влиянием падающего груза нить разматывается и вызывает равноускоренное вращательное движение крестовины.

Общий вид маятника Обербека изображен на рис. 1. На вертикальной колонке 1, установленной на основании 2, прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный 3 и верхний подвижный 4 и две неподвижные втулки: нижняя 5 и верхняя 6. Основание снабжено регулируемыми ножками 7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора. На верхней втулке 6 посредством пластины 8 закреплен подшипниковый узел 9 и блок 10. Через блок перекидывается нить 11. Один конец нити прикреплен к двухступенчатому шкиву 12, а на втором конце закреплены грузы 13. На нижней втулке 5 посредством пластины 14 прикреплен электромагнит 15, который после подключения к нему напряжения удерживает о помощью фрикционной муфты с помощью

5

фрикционной муфты систему крестовины вместе с грузиками в состоянии покоя. Подвижный кронштейн 4 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать его в любом положении, определяя таким образом длину пути падения грузов. Для отсчета длины пути на колонке нанесена миллиметровая шкала 16. На кронштейнах 3 и 4 закреплены фотоэлектрические датчики 17 и 16. Датчик 18 вырабатывает электроимпульс, который фиксирует время падения груза и включает тормозной электромагнит. На кронштейне 3 установлен амортизатор 19, ограничивавший движение грузов. На основании прибора закреплен миллисекундомер. На лицевой стороне миллисекундомера расположены следующие элементы управления:

СЕТЬ - выключатель сети. Нажатие клавиши вызывает включение напряжения питания и автоматическое обнуление прибора( все индикаторы высвечивает цифру нуль и светят лампочки фотоэлектрических датчиков).

СБРОС - установка нуля. Нажатие клавиши снимает напряжение со схем миллисекундомера.

ПУСК - управление электромагнитом. Нажатие клавиши вызывает

вращающейся системы. Экспериментальная проверка уравнения (3) состоит из двух частей.

I. Для доказательства того, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы М: ~ М, момент инерции системы необходимо оставить постоянным: I=const. Тогда для двух различных значений M1 и M2 вращающего момента можно записать:

2. Для доказательства того, что угловое ускорение обратно пропор-

ционально моменту инерции I: ~ 1 необходимо момент сил

I

оставить постоянным: М = const.

6

Тогда для двух различных значений I1, и I2 момента инерции можно записать:

1

I1 11 I2 21 M , II1 21 (8) 2 1

1. Рассмотрим зависимость углового ускорения от вращающего момента М, когда момент инерции остается постоянным. Для проверки соотношения (7) необходимо выразить значения М и через величины, которые можно измерить на опыте. Вращающий момент создают сила натяжения нити и сила трения, действующая на ось шкива. Если пренебречь моментом инерции блока и силами трения, действующими на оси блока и шкива, то уравнение (2) можно записать в скалярном виде

где Т - сила натяжения нити,

I и - момент инерции и угловое ускорение системы, R - радиус шкива 12.

Уравнение движения падающего груза запишется а виде:

Меняя вращающий момент М, на основании выражения (3) можно

При h=const и I=const из (12) с учетом (9) и (10) для двух различных падающих грузов m1 и m2- получим выражение, подлежащее проверке:

В (13) вошли величины, которые являются результатом прямых

8

измерений.

2. Рассмотрим зависимость углового ускорения от момента инерции I cистемы, когда момент сил М остается постоянным, т.е. докажем cправедливость соотношения (8).

Момент инерции cистемы, если считать грузы на крестовине

где I0 - суммарный момент инерции системы без грузов,

mor2 - момент инерции одного груза на стержне крестовины,

r - расстояние от оси вращения до груза на стержне, mо - масcа подвижного груза на стержне.

Момент инерции системы можно изменять, меняя расстояние грузов m0 от оси вращения, тогда для двух расстояний r1 и r2 . моменты инерции запишутся в виде

Из уравнения динамики вращения выразим моменты инерции

Подставим значения I1 и I2 из (15) и (16) в (17) и (18)

Так как момент инерции I0 неизвестен, то вместо соотношения I1/I2 образуем разность I1-I2 , тогда I0 исключается:

Подставляя в (21)

9

В выражение (24) входят величины, которые являются результатом прямых измерений. Таким образом, проверка уравнения (3) в данной работе сводится к проверке рабочих уравнений (13) и (24).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. С помощью регулируемых ножек основания привести колонку прибора к вертикальному положению. Проверить, не задевают ли грузы корпус фотоэлектрического датчика (верхнего и нижнего).

2. Сдвинуть подвижный кронштейн на выбранную высоту и установить так, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков.

3.Выключить шнур измерителя в сеть. Нажать клавишу СЕТЬ, проверяя, показывает ли все индикаторы измерителя нуль, и горят ли лампочки обоих фотоэлектрических датчиков.

4.Переместить грузы в верхнее положение и проверить, находится ли система в состоянии покоя.

5.Нажать клавишу ПУСК и проверить, произошло ли движение системы, измерил ли миллисекундомер время прохождения пути.

6.Нажать клавишу СБРОС и проверить, произошло ли обнуление показаний измерителя и освобождение блокировки электромагнитом.

7.Перенести грузы в верхнее положение, отжать клавишу ПУСК и проверить, произошла ли повторная блокировка системы.

10