Gmail / Механика-9

Печатается по решению кафедры общей физики: протокол № 4 от 21 февраля 2012 г.

Составители: к.ф.-м.н., доц. Акманова Г.Р. асс. Шафеев Р.Р.

2

Лабораторная работа № 9

ИЗУЧЕНИЕ ГИРОСКОПА

Приборы и принадлежности: гироскоп, блок электронный.

Цель работы: 1. Изучение особенности движения гироскопа.

2.Определение угловой скорости прецессии гироскопа.

3.Определение зависимости скорости прецессии гироскопа от частоты вращения маховика гироскопа и от момента сил, приложенного к горизонтальной оси гироскопа.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Гироскопом называется быстро вращающееся тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы, обладающие симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геометрической осью или осью фигуры гироскопа. Обычно одна из точек оси гироскопа бывает закреплена. Такую неподвижную точку называют точкой опоры гироскопа. В более общем смысле точкой опоры гироскопа называют такую точку О оси гироскопа, относительно которой рассматривают его вращение.

Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов:

вращается вокруг оси симметрии, J - момент инерции,

- вектор угловой скорости вращения, причем моменты импульса и сил берутся относительно неподвижной точки оси (точки опоры) гироскопа.

Исследуем общий случай движения тела, у которого закреплена одна точка (рис.1).

Пусть тело (диск) вращается с угловой скоростью 1 вокруг оси ОО', проходящей через центр масс тела, и одновременно ось ОО' вращается относительно неподвижной

вертикальной оси ОО" с угловой скоростью . Одновременное вращение вокруг осей ОО' и ОО" с разными угловыми

определяется положением вектора 1 .Так как положение оси ОО' и лежащего на ней вектора 1 , со временем меняется, то меняется и положение оси ОО. Это - мгновенная ось вращения.

Мгновенной осью вращения называют линию, проходящую через те неизменно связанные с телом точки, которые в данный момент времени остаются в покое. Эта ось непрерывно меняет свое положение как в пространстве, так и относительно тела.

Найдем компоненты вектора момента импульса

LJ которыми обладает тело при вращении вокруг осей ОО'

иОО".

Эти компоненты вектора момента импульса соответственно

равны L1 J1 1 и L2 J2 .

Вектор момента импульса результирующего вращения относительно мгновенной оси равен геометрической сумме

вектора L1 (направленного вдоль оси ОО') и вектора L2 (направленного вдоль неподвижной оси ОО")

4

где J1 -момент инерции тела относительно оси ОО',

J2 - момент инерции относительно оси ОО".

Как видно из pис.1 вектор момента импульса L (ось момента импульса ОО'") не совпадает с мгновенной осью ОО, а составляет с ней некоторый угол.

Таким образом, при изучении вращения твердого тела, имеющего закрепленную точку, следует различать не совпадающие друг с другом оси:

1)ось вращения тела (ОО');

2)мгновенную ось вращения (ОО);

3)ось момента импульса (ОО'").

Предположим, что ось гироскопа при его вращении остается неподвижной. Тогда вектор мгновенной угловой

скорости лежит на этой оси, так как 0. Вектор момента

импульса L J также направлен вдоль оси гироскопа, то есть ось гироскопа, мгновенная ось и ось момента импульса в этом случае совпадают.

Допустим теперь, что вокруг собственной оси ОО'

5

гироскоп вращается с очень большой скоростью 1 и в то же время ось ОО' медленно вращается вокруг неподвижной

относительно соответствующих осей, хотя и имеют разную

собственная ось и ось момента импульса хотя и не совпадают в точности, имеют лишь незначительное расхождение направлений.

При выполнении этого условия поворот вектора момента импульса гироскопа L и поворот оси гироскопа являются эквивалентными, то есть движение гироскопа может быть описано, если известно изменение вектора L с течением времени.

Точная теория гироскопа, в которой учитывается различие трех указанных осей, довольно сложна. Мы рассмотрим приближенную теорию, в которой эти оси считаются совпадающими. Приближенная теория справедлива, когда угловая скорость вращения гироскопа вокруг

Гироскоп называется свободным, если момент внешних

6

сил, действующих на него, равен 0: M 0 . Согласно закону сохранения момента импульса, вектор L1 , следовательно, и ось гироскопа будут сохранять свое направление в пространстве сколь угодно долго. Если на гироскоп действует внешняя сила, то, как видно из уравнения (1), за время t вектор получит приращение

устойчив к действию кратковременных сил, и, чем больше его угловая скорость вращения, тем выше устойчивость.

Для того, чтобы вращение гироскопа было свободным, необходимо свести к минимуму силы трения, действующие на гироскоп и устранить влияние силы тяжести Уменьшение трения достигается особой конструкцией и обработкой опорных подшипников, в которые помещается ось гироскопа. Для устранения влияния силы тяжести гироскоп изготавливают так, чтобы ось вращения проходила через его центр масс. Тогда результирующая сила тяжести проходит через ось вращения, и ее момент равен нулю.

Тогда результирующая сила тяжести проходит через ось вращения, и ее момент равен нулю.

В технике чаще всего при создании свободного гироскопа используется карданов подвес (рис.2). Массивное тело гироскопа закреплено на оси АА, которая с малым трением вращается вокруг оси ВВ. Концы оси ВВ опираются на подшипники во внешнем кольце, которое, в свою очередь, может вращаться вокруг оси СС, опирающейся на подшипники в подставке. Ось ВВ перпендикулярна осям АА и СС.

7

Благодаря такому подвесу точка пересечения всех трех осей совпадает с центром масс гироскопа и ось гироскопа может принимать любое направление в пространстве.

Для демонстрационных целей применяется карданов подвес несколько иной конструкции (рис.3). Стержень А может вращаться вокруг стойки В в горизонтальной и вертикальной плоскостях (в вертикальной - с некоторым ограничением). Кольцо, в котором укреплен гироскоп, насажено на конец стержня А. Для того чтобы центр тяжести системы совместить с точкой пересечения всех трех осей (точкой О), на противоположном конце стержня имеется противовес в виде груза Q, который можно перемещать по стержню. Пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление без особых усилий (если трение в подшипниках мало). Если же мы сообщим гироскопу быстрое вращение и будем поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохранит неизменным свое положение в пространстве (L =const).

Рассмотрим теперь движение гироскопа под действием внешних сил. Пусть диск гироскопа быстро вращается вокруг

оси симметрии (рис.4). Подействуем на ось гироскопа силой F

(направленной вниз), которая создает моментM r F ,

8

перпендикулярный к плоскости чертежа. Если бы гироскоп не

находился в быстром вращении, то под действием силы F его ось наклонилась бы вниз. Но наличие вращения полностью изменяет результат действия силы. Поскольку приращение момента импульса, согласно уравнению (1), равноdL Mdt положительный конец оси начнет двигаться в горизонтальной плоскости в направлении этого вектора, то есть в направления момента силы (положительным концом оси гироскопа называют тот конец, к которому направлен вектор момента импульса; положительное направление момента и вращения определяется по правилу правого винта).

Если при этом сила F сохраняет постоянное значение

(например, если F создается грузом, подвешенным к гироскопу на некотором расстоянии r от точки опоры), то

движение конца вектора L и оси гироскопа происходит с постоянной угловой скоростью .

Вращение оси гироскопа под действием момента внешних сил называется вынужденной прецессией гироскопа.

Определим угловую скорость прецессии. Положим, что

ось момента импульса L под действием момента сил M за t время повернулся на угол d .

Приращение dL лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору L , следовательно, изменяет только его направление,

вращения оси момента импульса, то есть искомая угловая скорость прецессии.

Рис.4

В результате прецессии мгновенная ось, вдоль которой

направлен вектор полной скорости вращения 1 , не совпадает с осью гироскопа. Однако, ввиду того, что 1 это несовпадение незначительно, и по-прежнему, несмотря на наличие прецессии, можно считать, что мгновенная ось вращения все время совпадает с осью гироскопа и осью момента импульса L .

Из рассмотренной приближенной теории гироскопа следует, что прецессия гироскопа не имеет инерции, то есть

движение с угловой скоростью const для данного М устанавливается сразу после приложения внешней силы. Однако в точной теории гироскопа показывается, что вершина гироскопа (конец вектораL ) совершает сложное движение с конечным ускорением, при котором наряду с прецессией происходят колебания оси гироскопа в вертикальной плоскости. Эти колебания называются нутациями. Из-за наличия силы трения в опоре нутации затухают, и остается только равномерная прецессия, описываемая уравнением (6).

Научно-технические применения гироскопов весьма разнообразны. Свойство уравновешенного гироскопа сохранять

10