11.5. Решение сухр для систем с одной химической реакцией методом Ньютона

Для решения СУХР системы с одной химической реакцией методом Ньютона будем использовать условие равенства нулю химического сродства в состоянии химического равновесия:

[Дж/моль]

Введем безразмерные величины для химического сродства и свободной энергии Гиббса

Тогда в состоянии химического равновесия имеем: ,

и СУХР в канонической форме записи примет вид:

СУХР=(1)

где - непрерывные функции от 3-х независимых переменныхВведем новые переменные:. Тогда

СУХР=. (2)

Система уравнений (2) решается приближенным итерационным методом Ньютона. При этом нелинейные уравнения (2) заменяются подходящим линейным отображением, используя линеаризацию через разложение функций по формуле Тейлора.

(3)

При решении системы линейных уравнений (3) в (к+1) - ом приближении определяются поправки:

Если при к-ом приближении значенияизвестны, то при (к+1) -ом приближении значения этих параметров будут равны:

(4)

Решение (4) оказывается подходящим приближением к решению системы уравнений (3) при условии, что поправки в (к+1) –ом приближении будут менее заданной величины погрешности , т.е.

(5)

где погрешность- малое число (10^-3,….., 10^-6). Итерации продолжаются до выполнения условия (5).

Последовательность расчета:

1) Выбираются величины к-го приближения:.

2) Вычисляется матрица коэффициентов уравнений системы (3) (матрица Якоби): . Эти коэффициенты являются частными производными величини.

3. Решается система уравнений (3) для определения величин в (к+1)-ом приближении. Процесс итераций продолжается до тех пор, пока изменение величин(к+1)-го приближения не окажется в пределах погрешности.

Коэффициенты системы уравнений (3) представлены в таблице для ряда задач, решаемых в авиационно-космической технике.

Таблица коэффициентов системы (3)

№ п/п	Независимый параметр для построения функции
0
1	T	0	1	0
2	P	0	0	1
3	V
4	H			0
5	U			0
6	S

где ,,.

Величины в таблице приведены к безразмерному виду путем деления на одну из следующих величин :,,,.

Если заданы Н_с,р_с, то матрица коэффициентов левой и правой частей уравнений системы (3) принимает вид:

.

11.6. Расчет производных от состава

Производные от состава используются при расчете дифференциальных свойств ТС.

Из выражения: , (1)

следует, что , (2)

где .

После дифференцирования (1) и (2) имеем:

, (3)

, (4)

. (5)

Закон действующих масс имеет вид:

. Тогда.

Учитывая, что , получим соотношение для производной пробега ХРпоlnT:

. (6)

Соотношение для производной пробега ХР по давлению определяется аналогично, учитывая, что

, а.

Тогда получим: , (7)

где производная равна

, (8)

где ;.

Соотношение (8) можно получить, используя «цепное правило» дифференцирования, из выражения

.

Обозначим 1ое слагаемое , а второе -. Тогда

,

где - суммарное количество веществ в-ой фазе;- список веществ в фазе с номером;- номер фазы, где находитсяi-ое вещество.