Механічні хвилі

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

де U_x,t - зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А - амплітудне зміщення цих точок;

- хвильове число;

 - довжина хвилі;

 - циклічна частота коливань.

2. Рівняння сферичної хвилі.

,

де r - радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв`язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

де υ - швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т - період коливань;

 - частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

де Е - модуль Юнга;

 - густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

,

де G - модуль зсуву;

 - густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

,

де K - модуль об’ємної пружності рідини;

 - густина рідини.

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

υ = ,

де  - стала Пуассона ();

R - газова стала;

Т - абсолютна температура;

 - молярна маса газу.

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

,

де m = Sx - маса виділеного елемента пружного середовища;

- швидкість хвильового руху точок середовища.

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

W = K + П =  S x² A²cos² (t - kx);

г) густина енергії

w = ;

д) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

, .

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

де - середнє значення повної енергії хвиль.

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

,

де - середня густина енергії пружних хвиль;

- вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

,

де ^‘ - частота звуку яка сприймається приймачем;

 - частота звуку джерела;

с - швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ - швидкість руху приймача звуку;

u- швидкість руху джерела звуку (нижній знак - джерело і приймач розходяться; верхній знак - джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 = 2 ­ 2n ,

де х₂ - х₁ - різниця ходів двох хвиль;

 - різниця фаз хвиль;

 - довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3, ... - порядок max.

Або

x = (x₂ - x₁) = n  ;

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 = 2 .

або

x = (x₂ - x₁) =(2n + 1)/2.

10. Рівняння стоячої хвилі

U_x,t = A cos kxcos t ,

де U_x,t - зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А - амплітуда зміщення;

k = - хвильове число;

 - циклічна частота коливань;

Acoskx  - амплітуда стоячої хвилі.

а) Координати вузлів стоячої хвилі

kx =  (2n + 1)/2 , або x =  (2n + 1)/4 ,

де n = 0, 1, 2, 3, ...;

х - координати вузлів стоячої хвилі.

б) Координати пучностей стоячої хвилі

kx =  n або x =  n 

де n = 0, 1, 2, 3, .... .