3.4 Точка на прямій. Сліди прямої

Умова інцидентності – точка належить прямій, якщо її проекції належать однойменним проекціям цієї прямої (рис. 11).

Символьний запис:

Рисунок 11 – Інцидентність точки прямій

Сліди прямої – точки перетину прямої з площинами проекцій і визначаються як особливі точки прямої, одна із координат яких дорівнює нулю (рис. 12).

Рисунок 12 – Побудова горизонтального М (М₁, М₂) та фронтального N (N₁, N₂) слідів прямої l

Позначення на рис. 12 слід читати так:

1. т. М – горизонтальний слід, який на епюрі визначається проекціями точок М₁ (горизонтальна проекція горизонтального сліду) та М₂ (фронтальна проекція горизонтального сліду). У цієї точки відсутня координата Z, тобто Z_М = 0.

2. т. N – фронтальний слід, який на епюрі визначається проекціями точок N₁ (горизонтальна проекція фронтального сліду) та N₂ (фронтальна проекція фронтального сліду). У цієї точки відсутня координата У, тобто У_N = 0.

3.5 Приклади для закріплення

Приклад 1. Уявіть і побудуйте проекції відрізка АВ, паралельного П₂, причому точка В знаходиться далі від П₃, ніж точка А. Запишіть символьне позначення прямої, покажіть її довжину та кути нахилу до площин проекцій.

Оскільки відрізок прямої АВ паралельний П₂, то слід врахувати ознаки фронтальної прямої, тобто А₁В₁ || Х₁₂, та відповідні позначення кутів нахилу α та j.

Ознаки та позначення:

АВ || П₂, Х_В > Х_А;

АВ – фронталь f,

А₁В₁ || Х₁₂;

Н.в. АВ =А₂В₂;

α – кут нахилу до П₁,

j – кут нахилу до П₃.

Приклад 2. Побудуйте дві прямі, які перетинаються, причому одна з яких займає горизонтальне положення.

Використовуємо ознаку горизонтальної прямої h (h₁, h₂), тобто h₁ || Х_12.

Символьний запис:

h || П₁

Приклад 3. Побудуйте горизонтальний та фронтальний сліди прямої АВ.

Ознаки:

М є П₁,

N є П₂.

Продовжимо проекції А₁В₁ та А₂В₂ до перетину з віссю Х₁₂.

Визначимо проекції точок М(М₁, М₂) та N(N₁, N₂).

т. М – горизонтальний слід, є результатом перетину прямої АВ з площиною проекцій (Z_M =0); т. N – фронтальний слід, є результатом перетину прямої АВ з площиною проекції П₂ (У_N = 0).

Приклад 4. Побудуйте пряму l, яка перетинає пряму а та паралельна до прямої в.

Символьний запис:

3.6 Теоретичні питання

1. Які положення прямих Вам відомі?

2. Які прямі окремого положення Ви знаєте?

3. За якими ознаками можна визначити прямі рівня?

4. За якими ознаками можна визначити проекціювальні прямі?

5. Які точки називають конкуруючими?

6. Ознаки паралельних прямих.

7. Ознаки мимобіжних прямих.

8. Ознаки прямих, які перетинаються.

3.7 Питання до розв’язання задач на практичному занятті

1. Визначте положення прямої АВ за наочним зображенням (рис. 13).

2. Запишіть назву прямої, довжину, кут нахилу до площин проекцій.

Рисунок 13 – Наочні зображення прямої АВ

3.8 Задачі для самостійної підготовки

Задача 1. Побудуйте дві проекції прямих:

–які перетинаються, причому дві з них окремого положення;

– які паралельні між собою та займають фронтальне положення.

Задача 2. Перетніть прямі АВ та CD прямою EF, яка проходить через т. А та паралельна П₁.

Задача 3. Визначте відносне положення прямих, проекції конкуруючих точок та їх видимість.

Задача 4. Побудуйте сліди прямих та позначте їх проекції.

4 Площина

Точка, пряма, площина відносяться до невизначених понять геометрії. Площину можна розглядати як безперервну двопараметричну множину точок, тобто площина безмежна.

4.1 Способи задання площини

Площину на епюрі можна задавати шістьома способами:

1. Трьома точками, які не лежать на одній прямій.

2. Прямою та точкою, яка не лежить на цій прямій.

3. Двома паралельними прямими.

4. Двома прямими, які перетинаються.

5. Плоскою фігурою.

6. Слідами.

4.2 Класифікація площин

Площини бувають загального та окремого положення. До площин окремого положення відносять площини рівня та проекціювальні.

Площини окремого положення мають особливу властивість, а саме: вироджуються /перетворюються/ в пряму лінію та проекціюються в слід-проекцію.

Відносно площин проекцій П₁,П₂, П₃ площини можуть займати такі положення: бути паралельними або перпендикулярними до площин проекцій, непаралельними та неперпендикулярними до площин проекцій.

Означення

Площина загального положення – це площина, яка непаралельна та неперпендикулярна ні до жодної з площин проекцій.

Площина окремого положення – це площина, яка паралельна або перпендикулярна до однієї з координатних площин проекцій.

Площини, паралельні одній із координатних площин, називають площинами рівня.

На паралельну їй координатну площину площина рівня проекціюється без спотворення. На дві інші координатні площини площина рівня проекціюється в лінії перетину її з цими координатними площинами, і називаються вони виродженими проекціями цієї площини.

Площини, які перпендикулярні одній із координатних площин, називаються проекціювальними.

На перпендикулярну до неї координатну площину проекціювальна площина проекціюється в лінію перетину її з цією координатною площиною, тобто утворює вироджену проекцію цієї площини. На цю ж площину проекції проекціюються без спотворення кути нахилу проекціювальної площини до двох інших.

Назви площинам окремого положення дають аналогічно вищезгаданим прямим. Наприклад, якщо площина перпендикулярна до П₁, то їй відповідає назва горизонтально-проекціювальна площина.

В таблицях 3 – 4 наведені наочні зображення та епюри площин окремого положення, де в кожному окремому випадку площина задана одним із шести способів. На рис. 14 показаний епюр площини загального положення.