11.3 Задачі для самостійної підготовки

Задача 1. Побудуйте проекції точок перетину проекціювальної прямої з поверхнями обертання окремого виду:

1. конус обертання (іП₂) перетинає пряма, яка перпендикулярна до П₂;

2. еліпсоїд обертання (іП₁) перетинає пряма, яка перпендикулярна до П₁;

3. параболоїд обертання (іП₂) перетинає пряма, яка перпендикулярна до П₁;

4. однополосний гіперболоїд (іП₁) перетинає пряма, яка перпенкулярна до П₂.

Задача 2. Побудуйте проекції точок перетину з проекціювальною прямою.

а) б) в)

Задача 3. З’ясуйте, яку з проекцій прямої l більш доцільно заключати в площину? Побудуйте проекції точок перетину прямої з поверхнями.

а) б) в)

Задача 4. Побудуйте проекції точок перетину прямої l з поверхнею.

а) б)

C₁

в) г)

д) е)

12 Перетин поверхонь

Лінія перетину являє собою геометричне місце точок, які мають подвійну належність. В загальному випадку ця лінія є просторовою кривою, складність якої залежить від складності поверхонь, що перетинаються та їх взаємного положення в просторі. В деяких випадках лінія перетину може мати вигляд відрізків прямих, тобто утримувати в собі плоскі криві.

Лінію перетину поверхонь, як і лінію перетину поверхні площиною, будують за сукупністю точок. В першу чергу звертають увагу на характерні точки обрисів (точки зламів, найбільш високі та низькі) та ті, що розташовані на осях симетрії.

12.1 Окремі випадки перетину

1. Поверхні, які перетинаються, мають спільну вісь обертання і

(рис. 96).

а) б) в)

Рисунок 96– Співвісні поверхні

На рис. 96 показані 3 приклади: а) циліндр та сфера, б) конус та сфера, в) поверхня обертання та сфера. Лінією перетину є коло (паралель). Приклади зображень співвісних поверхонь обертання, що мають застосування в машинобудівельному кресленні, показані на рис. 97. Поверхні позначені буквами: Кн. – конус, Ц – циліндр, Сф – сфера. Отримана лінія перетину позначена буквою Ко – коло.

Рисунок 97 – Приклади зображень співвісних поверхонь із практики машинобудівельних креслень

2. Поверхні обертання, які описані навколо спільної для них сфери (рис. 98).

Рисунок 98 – Поверхні, які перетинаються, описані навколо спільної сфери

Цей випадок перетину підпорядкований відомій теоремі Монжа: дві поверхні другого порядку, які описані навколо третьої поверхні другого порядку (сфери), перетинаються між собою по двох кривим другого порядку. Дійсно, згідно рис. 98, перетинаються поверхні обертання: циліндр і конус, еліпсоїд і конус, два конуси. Лініями перетину вказаних поверхонь будуть еліпси.

3. Одна із поверхонь займає проекціювальне положення (рис. 99).

Рисунок 99 – Бічна поверхня циліндра займає проекціювальне положення

Вихідна проекція шуканої лінії перетину збігається з виродженою проекцією проекціювальної поверхні. Друга проекція лінії взаємного перетину визначається за її належністю поверхні загального положення. До характерних точок в даному випадку відносять такі: 1, 6 – найнижчі, 3 – найвища, 4 – та, що визначає видимість поверхонь. Точки 2, 5 є проміжними. Фронтальні проекції точок 1, 6 визначаються безпосередньо (належать основам конуса та циліндра), інші фронтальні проекції точок 2, 3, 4, 5 знаходять за допомогою паралелей на конусі. Видимою частиною є лінія перетину, що складається із точок 6, 5, 4; решту з’єднують невидимим контуром.