10 Переріз поверхні площиною

10.1 Окремі випадки перерізу

1. Січна площина займає окреме положення (рис. 79, а, б).

а) поверхня гранна б) поверхня обертання

Рисунок 79 – Переріз поверхні січною площиною окремого положення

Вихідна проекція лінії перерізу знаходиться на П₂ і належить сліду проекції α₂. Для гранних поверхонь визначаємо точки перерізу з відповідними ребрами – 1,2,3. Лінія перерізу – ламана лінія (трикутник). В гранях, які є видимі на П₁, лінія взаємного перерізу видима. Грань BSC на П₁ невидима, значить, лінія 2₁3₁ також невидима.

Висновок: у випадку, коли площина займає окреме положення, лінія перерізу належить сліду січної площини та визначається за сукупністю точок, які належать поверхні.

Вихідна проекція лінії перерізу знаходиться на П₁ і належить сліду проекції α₁. Для кривих поверхонь визначаємо сукупність точок, кожна з яких отримана як точка, що належить поверхні тора. Точка 4 – найвища, вона отримана на перетині перпендикуляра, що проведений від осі обертання і₁ до сліду площини ∑₁. Точка 4 знаходиться на межі видимості (головному меридіані), тому лінія 1, 2, 3, 4, 5 на П₂ видима, решта – невидимі.

2. Січна площина займає загальне положення, а бічна поверхня - проекціювальне положення (рис. 80, а, б).

а) ∑(а║b) б) ∑(f ⁰∩h ⁰)

Рисунок 80 – Переріз поверхні, бічна поверхня якої займає окреме положення, з площиною загального положення

Оскільки бічні поверхні призми (ребра перпендикулярні до П₂) та циліндра обертання (твірні перпендикулярні до П₁) вироджуються в лінію (трикутник - для призми; коло – для циліндра), то проекція лінії взаємного

перерізу на одній із площин проекцій відома і є вихідною.

Вихідна проекція лінії перерізу знаходиться на П2. Відсутні проекції точок А,В, С знаходять на прямих [1, 2] та [3, 4], що належать площині ∑(а║b).

Вихідна проекція лінії перерізу знаходиться на П1. Відсутні проекції точок еліпса знаходять за допомогою ліній рівня (фронталей), які належать площині ∑(f 0∩h0 ).

Висновок: у випадку, коли бічна поверхня займає проекціювальне положення, то лінія перерізу належить цій бічній поверхні і її точки визначаються з умови, що вони належать заданій площині.

10.2 Конічні перерізи

При перерізі конуса площиною можна отримати такі лінії: трикутник, коло, еліпс, параболу та гіперболу.

10.2.1 Лінія перерізу - трикутник

Січна площина Т(Т₂) проходить через вершину конуса S (ТS) та перерізає основу в точках 1, 2 (рис. 81), S₁ та S₂ – твірні конуса.

Рисунок 81 – Січна площина перерізає конус по трикутнику

10.2.2 Лінія перерізу – коло

Січна площина Т(Т₂) перпендикулярна до осі обертання конуса та перерізає конус по колу (рис. 82).

Діаметр кола залежить від конкретного положення січної площини і визначається відстанню між точками 1₁-3₁ або 2₁-4₁.

Рисунок 82 – Січна площина перерізає конус по колу

10.2.3 Лінія перерізу – еліпс

Січна площина Т(Т₂) перерізає всі твірні та неперпендикулярна до осі обертання (рис. 83).

Рисунок 83 – Січна площина перерізає конус по еліпсу

Велика вісь еліпса визначається як відстань між точками 1₂ та 3₂, в яких січна площина перерізає обрисові твірні конуса і розташована паралельно фронтальній площині проекцій П₂.

На П₂ мала вісь ділить велику пополам (2₂≡4₂) на П₂ є фронтально- проекціювальною. Точки малої осі належать паралелі а(а₂, а₁).

10.2.4 Лінія перерізу – парабола

Січна площина Т(Т₂) перерізає поверхню конуса паралельно обрисовій твірній l(l₂║Т₂) (рис. 84), результатом перерізу є парабола b(b₁, b₂).

Характерними точками є 5, 1, 9, проекції яких знаходяться безпосередньо. Інші позначені проекції точок будують на П₁ за допомогою паралелей певного радіусу (3₂≡1₂ паралелі а₂).

Рисунок 84 – Січна площина перерізає конус по параболі

10.2.5 Лінія перерізу – гіпербола

Січна площина ∑(∑₁) перерізає поверхню конуса паралельно до осі обертання і, результатом перерізу є гіпербола b(b₁, b₂) (рис. 85).

Рисунок 85 – Січна площина перерізає конус по гіперболі

Характерними точками є точка 5 (належить обрисовій твірній), точки 7, 1 (належать основі) та точка 4 (найвища). Положення найвищої точки 4

визначається за перпендикуляром, проведеним від вершини конуса до сліду проекції ∑. Проекції точок 2₂…6₂ можна побудувати за допомогою твірних або паралелей.