Алгоритм розв’язання

1. Введемо першу площину-посередник τ¹ (τ¹׀׀П₁).

2. Знайдемо лінії перетину площини, площини-посередника τ¹ з площинами α та β, відповідно: a¹ [1, 2] та b¹ [С, 3].

3. Визначаємо точку перетину Е лінії a¹ та b¹.

4. Введемо другу площину-посередник τ², яка паралельна попередній τ¹.

5. Знайдемо лінії перетину площини-посередника τ² з площинами α, β – a² та b², причому (a¹׀׀a², b¹׀׀b²).

6. Визначимо точку перетину F ліній a² та b².

7. Через отримані точки Е(Е₁, Е₂), F(F₁, F₂) проведемо пряму ЕF(Е₁F₁, Е₂F₂), яка визначає лінію взаємного перетину двох заданих площин α та β.

Рисунок 40 – Побудова проекцій ліній взаємного перетину двох площин шляхом введення допоміжних січних площин

Задача. Використовуючи лінії a та b площини Σ, побудуйте лінію взаємного перетину двох площин Σ(a׀׀b) та β(∆АВС) (рис. 41).

Рисунок 41 – Перетин площин загального положення, сліди площин-посередників збігаються з прямими a та b

Побудова проекцій ліній взаємного перетину базується на підставі алгоритму знаходження точки перетину прямої з площиною, а саме:

пряма b перетинає β(∆АВС) в т. Е (Е₁, Е₂);

пряма а перетинає β(∆АВС) в т. F (F₁, F₂).

Точки E, F – точки лінії перетину E F (E₁, F₁, E₂, F₂), що мають подвійну належність заданим площинам Σ та β.

6.3 Приклади для закріплення

Приклад 1. Побудуйте лінію взаємного перетину двох площин окремого положення (рис. 42, 43).

a) лінія перетину б) лінія перетину

перпендикулярна до П₂ перпендикулярна до П₁

Рисунок 42 – Перетин площин окремого положення

Вихідна проекція a₂ лінії перетину a визначається за двома точками F та E на перетині слідів проекцій заданих площин (β₂ та τ₂). Відсутня проекція a₁ знаходиться за проекційним зв’язком в межах заданого трикутника τ (рис. 42, а та рис. 43, а).

Вихідна проекція лінії перетину a визначається в точці Е, на перетині горизонтальних слідів заданих площин (τ₁ та β₁). Відсутня проекція a₂ знаходиться за допомогою т. Е₂ та напрямку, паралельного фронтальним слідам заданих площин (рис. 42, б та рис. 43, б).

На рис. 43 показані аксонометричні проекції двох площин β та τ, які перетинаються між собою.

a) τ (∆АВС)∩β(β₂)=EF б) τ(τ₁)∩β(β₂) =EF

Рисунок 43 – Аксонометричне зображення перетину заданих площин

Приклад 2. Побудуйте лінію взаємного перетину двох площин, одна з яких займає загальне положення, а друга – окреме (рис. 44, 45).

a) τ – проекціювальна площина б) τ –площина рівня

Рисунок 44 – Перетин площин загального положення β з площиною окремого положення τ

Вихідна проекція а₁ лінії перетину а належить горизонтальному сліду проекції τ₁ площини та визначається за двома точками 1 та 2.

a) β(m∩n)∩τ=a б) β(m׀׀n)∩τ=a

Рисунок 45 – Аксонометричне зображення перетину двох площин

Вихідна проекція а₂ лінії перетину а належить фронтальному сліду τ₂ площини та визначається за точкою 1 та напрямом, паралельним h⁰.

Приклад 3. Побудуйте лінію взаємного перетину двох площин загального положення (рис. 46).

Рисунок 46 – Перетин площин загального положення

Сліди площин-посередників α, β вводять окремо (рис. 46). Січна площина α перетинає площину τ по лінії а[1, 2], площина β – по лінії С [точкою 3 та напрямом]. Перетин ліній а та с визначає т. Е. За допомогою січної площини β визначається т. F як результат перетину ліній b та d, які паралельні a та c, тобто a₁׀׀b₁, c₁׀׀d₁.

Приклад 4. Побудуйте площину, паралельну заданій (рис. 47, а, б).

a) β(a∩b)׀׀τ(m∩n) б) β(ƒ⁰∩h⁰)׀׀τ(m∩b)

Ознаки

a₁׀׀m₁ та a₂׀׀m₂, ׀׀b₁ та ׀׀b₂,

b₁׀׀n₁ та b₂׀׀n₂. h׀׀m₁ та h׀׀m₂.

Рисунок 47 – Побудова площини τ, паралельної заданій β

Паралельні площини (рис. 47, а, б) побудовані згідно з означенням паралельних площин з використанням перетину заданих ліній площини β. Оскільки додаткові побудови в цьому прикладі відсутні, то маємо окремі випадки паралельності площин.

Для заданої площини β (рис. 47, а, б) введіть додаткові побудови та покажіть загальні випадки паралельності площин β та τ (виконайте побудови самостійно).