6.2 Перетин площин

Лінія перетину двох площин визначається двома точками, що одночасно належать двом площинам, або однією загальною точкою і відомим напрямком цієї лінії.

6.2.1 Окремі випадки перетину

1. Дві площини окремого положення перетинаються по прямій, яка займає проекціювальне положення.

? - студенту пропонується виконати рисунок та дати символьні позначення самостійно.

2. Площину загального положення σ перетинає площина окремого положення α (рис. 36, а, б).

α∩σ(m׀׀n)=a[1,2] α∩σ(ƒ⁰,h⁰)

a₁ – вихідна проекція лінії a₂ – вихідна проекція лінії

перетину a₁=α_1. задається точкою 1 та напрямком,

паралельним h, a₂=α_2.

a) лінія перетину будується б) лінія перетину будується за

за двома точками 1 та 2 точкою 1 і напрямком,

паралельним h⁰

Рисунок 36 – Окремі випадки площин

У випадку, показаному на рис. 36, а, вихідна проекцію лінії перетину a(a₁) визначається безпосередньо на слід-проекції площини α(α₁).

Випадок, який ілюструється на рис.36, б, показує, що лінія перетину площин може бути горизонтальною (або фронтальною) прямою, якщо одна із площин, які перетинаються є, горизонтальною площиною(фронтальною) рівня. Як видно з рисунка, α׀׀П₁, тому лінія a(a₁,a₂) – горизонтальна пряма.

3. Перетин двох площин, заданих слідами.

В одному із випадків дві точки перетину визначають як точки перетину однойменних слідів: горизонтальних, що дає точку F(F₁,F₂); фронтальних, що дає точку E(E₁,E₂) (рис. 37, а, б).

Символьний запис: Σ∩β=EF(E₁F₁,E₂F₂).

a) перетин фронтальних б) перетин фронтальних

слідів ∩=E фіксується слідів визначається на

безпосередньо (вище осі x₁₂) продовженні (нижче осі x₁₂)

Рисунок 37 – Лінія перетину площин, заданих слідами, визначається за двома точками E та F

В другому випадку лінія перетину визначається за точкою Е та напрямком. В конкретній задачі напрям лінії перетину паралельний горизонтальним проекціям горизонтальних слідів двох площин, оскільки ці сліди паралельні між собою ׀׀ . Точка перетину E визначається на перетині фронтальних проекцій фронтальних слідів () (рис. 38).

Символьний запис: Σ∩β=l(l₁,l₂).

Рисунок 38 – Лінія перетину площин, заданих слідами,

визначається точкою E та напрямком

6.2.2 Загальні випадки перетину

В даному випадку дві площини займають загальне положення. Точки, що належать лінії перетину двох площин, визначаються методом допоміжних січних площин (площин-посередників).

1. Допоміжні січні площини, прекціювальні або рівня, вводять додатково.

2. Допоміжні січні площини вводять, використовуючи задані елементи площин (прямі або сторони плоских фігур).

Сутність використання площин-посередників пояснюється нижче. Нехай задані дві площини α та β, які перетинаються по лінії d, яка визначається точками E, F. Допоміжною січною площиною τ водночас перетнемо задані площини α та β, результатом перетину якої будуть прямі a та b. Оскільки ці прямі належать одній і тій же площині τ, то вони перетинаються в точці Е, яка одночасно належить площинам α та β (рис. 39).

Рисунок 39 – Сутність використання площин-посередників

Задача. Використовуючи метод допоміжних січних площин, побудуйте лінію взаємного перетину площин α (m׀׀n) та β (∆АВС) (рис. 40).